Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Общий регрессионный критерий значимости

В этом разделе будет описан метод, гораздо более общий, чем метод, изложенный в разд. 3.2. Этот метод можно использовать в любых задачах дисперсионного анализа. Общий регрессионный критерий значимости даст такие же результаты, если его применить к задаче с телевизионными трубками. Однако этот метод важен потому, что его легко можно распространить на более сложные задачи. Мы рассмотрим три стороны вопроса:

1) этапы общего регрессионного критерия значимости;

2) применение этого метода к примеру этой главы;

3) некоторые теоретические вопросы, выходящие за пределы этого метода.

Этапы статистического анализа при применении общего регрессионного критерия значимости

Рассмотрим модель и пусть будет оценкой по методу наименьших квадратов для аналогичные оценки для соответственно. Нужно провести следующие операции:

1. Получить суммы, соответствующие различным испытаниям.

2. Найти общую сумму всех экспериментальных данных.

3. Составить систему нормальных уравнений — по одному для каждой суммы, определенной выше в пунктах 1 и 2. Неизвестными в этих уравнениях являются оценки параметров.

4. Решить эти уравнения относительно

5. Получить регрессионную сумму квадратов, задаваемую оценками всех параметров.

6. Записать новую модель, опуская параметры, которые должны быть равны нулю, если проверяемая гипотеза верна.

7. Записать нормальные уравнения, соответствующие новой модели.

8. Решить эту систему уравнений и определить регрессионную сумму квадратов, задаваемую оценками оставленных параметров. В отличие от прежних оценок отметим новые оценки штрихами, например

9. Получить сумму квадратов между испытаниями

10. Получить

11. Построить -статистику следующим образом:

чтобы проверить гипотезу о том, что эффекты во всех испытаниях равны нулю.

Пример 3.2 (построен на кодированных данных из табл. 3.6).

Следуя приведенным выше этапам, имеем:

1. Четыре суммы, соответствующие различным испытаниям: .

3. Нормальные уравнения

Заметим, что коэффициенты при равны числу вхождений оценки в сумму, стоящую в левой части уравнения.

4. Поскольку первое уравнение принимает

Из остальных уравнений получаем

5. Регрессионную сумму квадратов найдем, умножив каждый член левой части уравнений (суммы) на соответствующую оценку, полученную в

Математический аппарат общего регрессионного критерия значимости Рассмотрим модель

Чтобы найти оценки по методу наименьших квадратов для параметров составим сумму квадратов ошибок

Нужно найти такие оценки которые будут минимизировать сумму квадратов ошибок. Для определения минимума возьмем частные производные по

(кликните для просмотра скана)

где заменены своими оценками Это и есть нормальные уравнения пункта 3. Решая их относительно находим

так как

Чтобы получить регрессионную сумму квадратов для регрессии по рассмотрим сначала сумму квадратов ошибок [уравнение (3.7)] и подставим вместо параметров их наилучшие оценки

Здесь пятый член разложен на две части, которые объединены с четвертым и шестым слагаемыми. Используя уравнения (3.8), два последних слагаемых

в квадратных скобках можно заменить на Г.. и соответственно. В результате можно записать как

или

Регрессионная сумма квадратов равна полной сумме квадратов минус сумма квадратов ошибок. Следовательно,

Заметим, что справа стоит сумма произведений оценок умноженных на соответствующие члены левых частей уравнений (3.8).

В общем случае

Если гипотеза верна, для всех у, модель принимает вид

Снова применяя метод наименьших квадратов к этим ошибкам

получаем оценку для равную

Тогда

так как

и

и F-статистика принимает вид

что совпадает с выражением для из табл. 3.5, если все равны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление