Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.7. Неполные рандомизированные блоки. Ограничение, налагаемое на эксперимент

Метод сбалансированных блоков

Иногда в рандомизированных блочных планах может оказаться невозможным использовать все варианты в каждом блоке. Если бы, например, в предыдущем примере нужно было испытать шесть марок шин, поскольку четыре из них можно испытывать на данной машине (не используя прицепа), то соответствующие блоки оказались бы неполными: в каждом из них было бы только четыре из шести вариантов испытаний.

Рассмотрим задачу определения влияния четырех способов обработки нитей накала катодов в телевизионных трубках на силу тока. Так как осуществление каждого способа обработки требует некоторого времени, то несколько наблюдений для каждого из этих способов за один день провести невозможно. Если принять дни за блоки, то, чтобы получить рандомизированное блочное планирование, нужно все четыре способа осуществлять в случайном порядке в течение каждого дня. После проверки оказалось, что за один день можно провести не четыре варианта, а самое большее три. Тогда возникает вопрос: какие из вариантов обработки осуществлять в первый день, во второй и т. д., чтобы получить информацию относительно всех четырех вариантов.

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать сбалансированное неполноблочное планирование. Неполноблочный план — это план, в котором вариантов имеется больше, чем может поместиться в один блок. Сбалансированный неполноблочный план — неполноблочный план, в котором каждая пара вариантов встречается в эксперименте одно и то же число раз. Таблицы таких планов имеются у Фишера и Йетса [8]. Количество блоков, необходимое для того, чтобы сделать план сбалансированным, зависит от числа вариантов, которые можно поместить в блоке.

В упомянутом примере имеется четыре варианта, в блоке помещается только три варианта. Чтобы осуществить сбалансированный план для этой задачи, нужно

использовать четыре блока (четыре дня), как это показано в табл. 4.10.

Таблица 4.10. Сбалансированный неполноблочный план для задачи с телевизионной трубкой

В этом плане только варианты осуществляются в первый день; во второй день и т. д. Заметим, что каждые два варианта условий испытаний, например совместно встречаются в течение эксперимента дважды. Они оказываются вместе в третий и четвертый дни; встречаются совместно в первый и второй дни и т. д. Как и в рандомизированных полноблочных планах, порядок проведения вариантов испытаний в течение каждого дня полностью рандомизирован.

Для облегчения анализа плана введем несколько новых обозначений. Пусть

(см. скан)

В табл. 4.10 приведены отсчеты, закодированные путем вычитания а также суммы по блокам и

вариантам. Сбалансированный неполноблочный план далее можно проанализировать следующим образом:

1. Подсчитать, как обычно, общую сумму квадратов

2. Подсчитать сумму квадратов по блокам, игнорируя варианты испытаний,

3. Подсчитать эффекты изменения вариантов испытаний, скорректированные по блокам,

где

причем если вариант испытания содержится в блоке если он не содержится в блоке . Заметим, что сумма всех блочных сумм по блокам, содержащим вариант испытания

Для имеющихся данных

Заметим, что всегда имеет место соотношение

Тогда

4. Подсчитать сумму квадратов для ошибки

В табл. 4.11 приведены результаты дисперсионного анализа этих данных.

Таблица 4.11. Результаты дисперсионного анализа для примера с неполноблочным планированием

Г-критерий дает т. е. результат незначим с 5%-ным уровнем значимости (см. приложение, табл. Г).

Представленное в табл. 4.11 число степеней свободы для ошибки определяется по разности. Это число степеней свободы для ошибки является произведением числа степеней свободы для блоков и вариантов испытаний (9), если учесть, что за счет того, что в плане четыре пропущенных величины, из него вычитается 4.

Может оказаться, что в некоторых неполноблочных планах желательно проверить межблоковый эффект. В табл. 4.11 не были подсчитаны средние квадраты для блоков, так как они не были скорректированы для вариантов испытаний. В случае симметричных

сбалансированных неполноблочных рандомизированных планов при суммы квадратов для блоков можно скорректировать тем же способом, что и суммы квадратов для вариантов

и

Результаты такой корректировки и результаты по вариантам испытаний для такого симметричного случая можно представить так, как показано в табл. 4.12.

Таблица 4.12. (см. скан) Результаты дисперсионного анализа для примера с неполноблочным планированием для вариантов и блоков

Члены в скобках приведены только для того, чтобы показать, как подсчитывается ошибка при использовании одного скорректированного и одного нескорректированного эффекта.

или

Следует заметить, что окончательные значения сумм квадратов, которые использовались в табл. 4.12 для получения значений средних квадратов, при сложении не дают общей суммы квадратов. Это характерно для неортогональных планов. F-критерий для блоков не проверялся, так как значение Г-отношения, очевидно, очень мало, что указывает на отсутствие изменения силы тока ото дня ко дню.

Для несимметричных, или несбалансированных, планов общий регрессионный критерий значимости может оказаться полезным альтернативным методом. Если подсчитаны контрасты для неполноблочного плана, то можно показать, что сумма квадратов для контрастов задается следующим выражением:

где контрасты определяются величинами а не

Общее регрессионное приближение для рандомизированного неполноблочного планирования

Применяя для проверки значимости данных табл. 4.10 общий регрессионный критерий, получаем нормальные

уравнения

Так как

из первого уравнения в (4.10) имеем

Для получения решения относительно можно применить следующий метод: умножим шестое уравнение в (4.10) на 3 и прибавим результат к третьему уравнению

или

или

Аналогично, используя седьмое и второе уравнения, получаем

Из восьмого и пятого уравнений находим

Из девятого и четвертого уравнений имеем

Заметим, что эти величины пропорциональны значениям

Так же, исключая можно получить Второе и седьмое уравнения дают

Аналогично

Опять пропорциональны

Для проверки гипотезы для всех имеем упрощенную модель и нормальные уравнения

Решая, получаем (как и раньше), но

Заметим, что значения отличны от так что

При помощи таких же операций можно получить

4.8. Сводка результатов

(см. скан)

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление