Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 6. ФАКТОРНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

6.1. Введение

В трех предыдущих главах эксперименты включали только один фактор, и изучалось его влияние на измеряемую переменную. Было рассмотрено несколько различных планов, но все они представляли ограничение на рандомизацию при изучении влияния одного фактора.

Предположим теперь, что экспериментатора интересуют два фактора, например влияние температуры и высоты над уровнем моря на силу тока в малых вычислительных машинах. Традиционный метод исследования состоит в том, чтобы зафиксировать высоту и изменять температуру, затем зафиксировать температуру и изменять высоту или в общем случае зафиксировать все факторы на постоянных уровнях, за исключением одного, и взять показания силы тока для нескольких уровней этого фактора, после этого выбрать другой меняющийся фактор, зафиксировать все остальные и так далее. Чтобы исследовать этот тип эксперимента, рассмотрим очень простой пример, где температура может быть установлена только на двух уровнях: а высота только на уровнях и Если невозможно изменять два фактора сразу, то высоту можно установить на уровне моря или а температуру изменять от до Допустим, что сила тока изменилась от до при возрастании температуры. При этом нет способа проверить, действительно ли происходит увеличение на или оно случайно. Если не существует какой-нибудь подходящей предварительной оценки для случайной ошибки, эксперимент необходимо повторить, чтобы получить оценку ошибки или случайной изменчивости в эксперименте. Если при повторном опыте получены данные при изменении

температуры от до то без всякого формального статистического анализа очевидно, что действительно существует возрастание силы тока, так как в каждом эксперименте изменение тока значительно превышало колебания его при данной температуре. Графически результаты представлены на фиг. 6.1.

Четыре эксперимента были проведены для того, чтобы определить влияние температуры только при высоте Чтобы проверить влияние высоты над уровнем моря, температуру можно установить на уровне а высоту изменять до установлением соответствующего давления в лаборатории.

Фиг. 6.1. Влияние температуры на силу тока.

Фиг. 6.2. Влияние температуры и высоты над уровнем моря на силу тока.

Используя уже полученные результаты на уровне (предполагая, что они характерны), берем еще два показания силы тока на высоте результаты представлены на фиг. 6.2.

Из этих экспериментов видно, что при увеличении температуры сила тока возрастает в среднем на

а при увеличении высоты над уровнем моря падает в среднем на

Эта информация получена после проведения шести экспериментов, и у нас нет никаких данных о том, что произойдет при температуре 55° F на высоте

В качестве альтернативного проведения эксперимента можно было бы рассмотреть факторный эксперимент, в котором каждый уровень температуры комбинируется с каждым уровнем высоты; при этом проводятся только четыре опыта. Результаты таких четырех опытов могут иметь вид, как на фиг. 6.3.

В этом эксперименте одна оценка влияния температуры на силу тока сделана на высоте над уровнем моря, другая — на высоте над уровнем моря.

Фиг. 6.3. Факторный эксперимент по изучению влияния высоты над уровнем моря и температуры на силу тока.

Следовательно, мы получили две оценки влияния температуры [в среднем ], использовав все четыре наблюдения без повторения измерений в одной и той же точке. С помощью этих же четырех наблюдений можно получить две оценки для влияния высоты: при температуре при в среднем падение на при увеличении высоты на Следовательно, только с четырьмя наблюдениями вместо шести сделано надежное сравнение для температуры и высоты и получена дополнительно некоторая информация о том, что произойдет при температуре и высоте над уровнем моря.

Из этого простого примера видно несколько преимуществ факторного эксперимента:

1. Большая эффективность по сравнению с экспериментами, где происходит изменение только одного фактора (здесь эффективность равна четырем шестым или двум третям).

2. При вычислении влияния каждого фактора используются все данные. (Заметим, что все четыре наблюдения используются при определении среднего влияния температуры и высоты.)

3. Собирается некоторая информация относительно возможных взаимодействий двух факторов. (В приведенном выше примере возрастание силы тока на при высоте над уровнем моря приблизительно того же порядка, что и возрастание на на высоте над уровнем моря. Если бы возрастания силы тока в этих случаях заметно различались, то можно было бы утверждать о наличии взаимодействия.)

Эти преимущества еще более видны, когда число уровней двух факторов возрастает. Факторный эксперимент — это такой эксперимент, в котором все уровни одного фактора комбинируются со всеми уровнями остальных факторов.

Фиг. 6.4. Взаимодействие в факторном эксперименте.

Таким образом, если четыре уровня для температуры комбинируются с тремя для высоты, то мы имеем факторный эксперимент типа 4X3, требующий осуществления 12 различных экспериментальных условий; если бы в вышеприведенном примере при температуре и высоте сила тока была результаты можно было бы представить, как на фиг. 6.4.

Из фиг. 6.4 видно, что при возрастании температуры от 25° F до 55° F на высоте над уровнем моря сила тока увеличивается на тогда как на высоте над уровнем моря при том же возрастании температуры сила тока падает на Когда изменение одного фактора сопровождается различными изменениями результатов при разных уровнях другого фактора, говорят о

существовании взаимодействия между факторами. Это также видно на фиг. 6.4, б, поскольку две линии, соответствующие разным высотам, не параллельны. На фиг. 6.5 приведены графики, построенные по данным фиг. 6.3.

Здесь видно, что линии очень близки к параллельным, в этом случае говорят об отсутствии взаимодействия. Увеличение температуры на высоте над уровнем моря приводит приблизительно к такому же увеличению силы тока как и на высоте над уровнем моря Теперь необходимо заметить, что линии могут быть почти параллельными или сильно расходящимися в зависимости от выбранного масштаба; поэтому необходимо провести статистическую проверку значимости взаимодействия. Это возможно осуществить только в том случае, когда при каждом экспериментальном условии сделано больше, чем одно наблюдение. Графики на фиг. 6.5 приведены только для некоторого объяснения сути взаимодействия и того, как оно может быть использовано для объяснения факторного эксперимента. Следующий пример иллюстрирует вычисление взаимодействия.

Фиг. 6.5. Влияние температуры и высоты над уровнем моря на силу тока при отсутствии взаимодействия.

Пример 6.1. Эксперимент должен быть проведен для определения влияния трех различных типов покрытия (люминофоров) и двух типов стекла экрана на яркость изображения в телевизионных трубках. Здесь зависимой переменной является световая отдача, которая измеряется в микроахмперах. В действительности регистрировалась величина катодного тока, обеспечивающая заданное значение яркости. Поскольку исследовались только три типа покрытия и два типа стекла, мы имеем дело с факторным экспериментом типа . Уровни обоих факторов фиксированы, поскольку мы изучаем

только эти определенные типы покрытий и стекла, и, кроме того, оба фактора качественные.

При планировании эксперимента было условлено записывать по три показания при каждом из шести (3X2) экспериментальных условий, так как предыдущие данные показали, что величина катодного тока весьма хорошо воспроизводила заметные различия между типами покрытий и типами стекла. Экспериментатор согласился с тем, что не составляет труда полностью рандомизировать порядок проведения 18 испытаний — по три в каждом из 6 экспериментальных условий. Практически шесть экспериментальных условий можно пронумеровать как и бросанием кости определить, какое из экспериментальных условий осуществлять первым, какое вторым и т. д. до тех пор, пока не пройдут все 18 испытаний. Чтобы более подробно рассмотреть эту процедуру, исследуем схему проведения эксперимента, приведенную в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Схема проведения эксперимента по изучению влияния покрытия и типа стекла

При бросании кости получены следующие результаты: , где повторные значения (X) пропускаются, если три таких значения уже получены раньше. Последний раз бросать кость не нужно, поскольку в последовательности номеров какой-то номер встречается только дважды, и чтобы

иметь по три наблюдения для каждой комбинации экспериментальных условий, нужно провести опыт, соответствующий недостающему номеру. В табл. 6.1 представлен порядок проведения 18 испытаний в соответствии с рандомизацией (первым осуществляется пятое экспериментальное условие, затем шестое и т. д.). Это иллюстрация только одного из возможных способов рандомизации. Можно использовать таблицу случайных чисел или просто случайно выбирать одно из шести чисел на фишке, чтобы решить, какое из шести экспериментальных условий осуществлять первым, вторым, третьим и т. д. Этот процесс на первый взгляд требует больших затрат труда, но очень важно использовать объективный метод рандомизации, поскольку неполная рандомизация может серьезно повлиять на результаты эксперимента. Если, например, произошло изменение в сети напряжения в течение последней трети испытаний, и все испытания покрытий типа С проходили после изменения напряжения, то было бы невозможно определить, происходит ли увеличение катодного тока при применении покрытия типа С или оно связано с изменением напряжения. Как видно из табл. 6.1, благодаря рандомизации последние испытания с номерами 13, 14, 15, 16, 17 и 18 достаточно хорошо разбросаны по экспериментальным условиям. Вышеприведенная схема иллюстрирует один способ полной рандомизации факторного эксперимента типа с тремя наблюдениями для каждого экспериментального условия; единственное ограничение состоит в том, что каждое экспериментальное условие осуществляется три раза. Большое преимущество для дальнейшего анализа данных представляет тот факт, что число наблюдений для всех экспериментальных условий может быть одинаковым.

Теперь рассмотрим эксперимент типа с тремя наблюдениями для каждого экспериментального условия, осуществленный по полностью рандомизированному плану. Математическую модель можно представить в соответствии с моделью для полностью рандомизированного плана гл. 3 следующим образом:

В этом эксперименте экспериментальных условий, которые часто называют вариантами испытаний. Следовательно, существует пять степеней свободы между этими шестью вариантами и степеней свободы внутри вариантов. Схема однофакторного дисперсионного анализа представлена в табл. 6.2.

Таблица 6.2 Схема дисперсионного анализа

Однако поскольку каждый уровень одного фактора сочетается с каждым уровнем другого, или, как говорят иногда, факторы пересекаются, две степени свободы можно приписать типам покрытий (столбцы табл. 6.1) и одну степень свободы — типу стекла (строки табл. 6.1). Таким образом, остается степени свободы между вариантами испытаний. Эти степени свободы относятся к взаимодействию между покрытием и типом стекла. Модель в этом случае принимает вид

где соответствует типу покрытия, типу стекла, взаимодействию между случайной ошибке в ячейке где .

Скобки используются здесь для того, чтобы показать, что три наблюдения относятся к каждому из шести вариантов. Иногда про такие наблюдения говорят, что они сгруппированы в ячейках. Эти обозначения очень удобны будут в дальнейшем. Схема дисперсионного анализа представлена в табл. 6.3.

Таблица 6.3. Вторая схема дисперсионного анализа

Из двух рассмотренных выше моделей и схем дисперсионного анализа видно, что два главных эффекта и их взаимодействие появляются за счет расшепления эффекта, обусловленного условиями испытаний, а не за счет ошибки эксперимента. В гл. 4 и 5 мы выделили влияние блоков и эффектов положения за счет случайной ошибки, делая попытку уменьшить ее путем ограничений, накладываемых на эксперимент при планировании. В факторном эксперименте план полностью

Таблица 6.4. Кодированные данные эксперимента по изучению покрытий и типа стекла

рандомизирован; здесь используется модель без корректировки члена, задающего ошибку.

Для анализа этого эксперимента данные были собраны в соответствии со схемой рандомизации табл. 6.1. Результаты, полученные после кодирования путем вычитания из каждого показания и деления на 5, записаны в табл. 6.4.

Для упрощения шесть вариантов испытания упорядочены в табл. 6,5 так же, как для однофакторного дисперсионного анализа.

Таблица 6.5. Данные для эксперимента по изучению типа покрытий и типа стекла

В табл. 6.5 индексы при указывают уровень этих факторов в каждом варианте испытаний. Используя методы, изложенные в разд. 3.2, с помощью однофакторного дисперсионного анализа можно получить величины, представленные в табл. 6.6.

Поскольку 5 степеней свободы между условиями испытаний можно разбить на степени свободы, относящиеся к типу покрытий, типу стекла и взаимодействию между ними, то же самое можно сделать с суммой квадратов. Если, возвращаясь к табл. 6.4, применить методы, изложенные в разд. 4.2 для двухфакторного дисперсионного анализа, то получим суммы, соответствующие типу покрытия (столбцы),

Таблица 6.6. Результаты однофакторного дисперсионного анализа для эксперимента по изучению типа покрытий и типа стекла

сумму квадратов для этого главного эффекта

суммы, соответствующие типу стекла (строки),

и сумму квадратов для этого главного эффекта

Складывая эти две суммы квадратов, получим ; сумма квадратов для взаимодействия равна Все эти результаты приведены в табл. 6.7.

Используя приведенные выше результаты, можно проверить три следующие гипотезы:

эта величина значима при -ном уровне значимости (см. табл. Г приложения);

Таблица 6.7. Результаты дисперсионного анализа задачи по изучению покрытий экрана и типа стекла. Эксперимент типа с тремя наблюдениями для каждого варианта испытаний

эта величина высоко значима;

эта величина меньше единицы и, следовательно, незначима.

Поскольку оба фактора фиксированы, все критерии основаны на -статистике, в знаменателе которой стоит средний квадрат ошибки. (Варианты этого метода будут рассмотрены в гл. 10.) Результаты этих трех проверок показывают, что тип стекла оказывает решающее влияние на катодный ток и, следовательно, на яркость, тип покрытия также влияет на яркость, а взаимодействия незначимы. Последний вывод можно объяснить тем, что яркость изменяется для трех типов покрытия приблизительно одинаково для каждого типа стекла. На фиг. 6.6 построены кривые по данным табл. 6.4.

Большой интервал между кривыми, соответствующими разным типам стекла, иллюстрирует значительное влияние этого фактора. Общий вид каждой кривой,

проходящей над тремя точками, соответствующими типам покрытия, отражает влияние этого фактора, а тот факт, что две кривые почти параллельны, демонстрирует либо незначительное взаимодействие, либо отсутствие его.

Фиг. 6.6. Диаграмма для эксперимента по изучению покрытия экрана и типа стекла.

Поскольку мы использовали только два типа стекла, очевидно, что второй тип стекла лучше, так как в этом случае сила тока значительно меньше и, следовательно, яркость для этих трубок выше, чем для стекла первого типа. Для сравнения трех типов покрытий можно применить критерий Дункана для кодированных средних, соответствующих разным типам покрытия. Эти средние равны

Используя метод, изложенный в разделе 3,3, имеем

Средний квадрат ошибки (с 12 степенями свободы). Нормированная ошибка для равна Табулированные ранги с 12 степенями свободы (0,05) (см. табл. Д приложения) имеют значения

и

Проверка разностей средних, соответствующих типам покрытия, дает

Таким образом, тип -ным уровнем значимости отличается от типов тогда как между типами значимого различия нет. Именно поэтому можно утверждать, что покрытие типа В хуже, так как оно требует значительно более высокого катодного тока (следовательно, яркость получается меньше), чем покрытие типа А или С.

Объединяя эти результаты относительно двух факторов (поскольку нет значимых взаимодействий), находим, что наилучшей комбинацией типа стекла и типа покрытия, дающей максимальный световой поток (минимальный катодный ток), будет сочетание стекла второго типа либо с покрытием типа либо с покрытием типа С в зависимости от того, какое из них более экономично при использовании.

Необходимо указать, что при вычислении взаимодействий нет необходимости составлять табл. 6.5 по данным табл. 6.4, так как сразу видно, что сумма квадратов, соответствующая взаимодействиям, определяется вычитанием суммы квадратов для каждого главного эффекта из суммы квадратов для ячеек. Каждой комбинации уровней этих двух главных эффектов соответствует одна ячейка.

Можно также заметить, что в модели этой задачи предполагается, что ошибки — независимые случайные величины, распределенные нормально с параметрами Это значит, что принимается гипотеза, согласно которой наблюдения в каждой из ячеек являются выборками из совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Поскольку разброс для кодированных данных в шести вариантах равен соответственно 2, 2, 3, 5, 4 и 2, это предположение, по-видимому, вполне допустимо.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление