Макеты страниц 6.2. Приемы дисперсионного анализаОбщая модель двухфакторного эксперимента с
где
где
Заменив теперь каждое среднее его выборочной оценкой, получим выборочную модель в виде
Если теперь это выражение возвести в квадрат и просуммировать по
Этот результат выражает идею о разбиении полной суммы квадратов на сумму квадратов фактора Распределение числа степеней свободы по факторам будет таково:
При этом число степеней свободы для взаимодействий равно числу степеней свободы между испытаниями Формулы для суммы квадратов в табл. 6.8 удобны для вычисления в случае двухфакторного дисперсионного анализа с повторными наблюдениями. Сумму квадратов ошибки можно переписать в виде
откуда видно, что суммы квадратов для каждой из можно переписать
что снова показывает, что взаимодействия вычисляются вычитанием сумм квадратов главных эффектов из суммы квадратов по ячейкам. Пример 6.2. Чтобы лучше понять идею факторных экспериментов, рассмотрим задачу с тремя факторами. Такая задача была приведена в гл. 1 при изучении влияния типа инструмента, скоса фаски и типа резания на затраты мощности при резании металла керамическими инструментами. На примере этой задачи покажем фазы эксперимента, планирования и анализа, как это было сделано в примере 6.1. В этой задаче рассматривается факторный эксперимент типа
где В табл. 6.9 представлены суммы наблюдений и суммы квадратов наблюдений для каждой ячейки. Эти результаты Сначала найдем общую сумму квадратов. Для этого нужно сложить квадраты всех показаний (числа в квадратных рамках ) и вычесть поправочный член, который Таблица 6.8. (см. скан) Общий дисперсионный анализ для двухфакторного эксперимента с равен сумме всех наблюдений
Чтобы получить сумму квадратов, соответствующую типам инструмента, нужно сложить результаты наблюдений Таблица 6.9. (см. скан) Кодированные данные из табл. 1.2 для керамических инструментов для каждого типа. Полученные суммы 3 и —16 нужно возвести в квадрат, разделить на число наблюдений для каждого типа (16), сложить, а затем вычесть поправочный член. Таким образом,
Сумму квадратов для скоса фаски можно получить, производя те же операции с суммами по каждому варианту, — 32 и 19.
Сумма квадратов для типа резания определяется с помощью тех же операций для 25 и —38.
Сумму квадратов для
Для
Для
Для тройного
Сумму квадратов ошибок получим, вычитая из полной суммы квадратов все полученные величины.
Результаты приведены в табл. 6.10. Результаты, представленные в табл. 6.10, значительно отличаются от данных табл 1.2. В действительности Таблица 6.10. Дисперсионный анализ для задачи с керамическим инструментом
они дают одинаковые результаты по F-критерию, но в табл. 6.10 приведены кодированные данные, умноженные на 2; данные в табл. 1.2 не кодированы. При умножении на 2 дисперсия и средний квадрат увеличиваются в 4 раза, так что, если все средние квадраты в табл. 6.10 разделить на 4, результаты совпадут с данными табл. 1.2. Например, для типа инструмента и ошибки имеем соответственно Интерпретация результатов этого примера приведена в гл. 1. Цель рассмотрения этого примера снова в этой главе — показать, что факторный эксперимент с тремя или более факторами можно анализировать простым обобщением методов этой главы.
|
Оглавление
|