6.2. Приемы дисперсионного анализа

Общая модель двухфакторного эксперимента с наблюдениями в каждой ячейке, проведенного по полностью рандомизированному плану, имеет вид

где представляют два фактора; — уровни фактора уровни фактора число наблюдений в каждом варианте. Выраженная через средние для совокупностей, эта модель выглядит следующим образом:

где представляет истинное среднее для ячейки (среднее для комбинации условий Смысл члена, характеризующего взаимодействие в модели, можно понять, если вычесть главные эффекты из члена, характеризующего эффект ячеек

Заменив теперь каждое среднее его выборочной оценкой, получим выборочную модель в виде

Если теперь это выражение возвести в квадрат и просуммировать по и к, то все суммы произведений оказываются равными нулю, и в результате получим

Этот результат выражает идею о разбиении полной суммы квадратов на сумму квадратов фактора сумму квадратов, соответствующую фактору В, сумму квадратов -взаимодействий и сумму квадратов ошибок (или сумму квадратов внутри ячейки). Очевидно, что каждая из сумм квадратов не зависит от остальных. Следовательно, разделив любую такую сумму на соответствующее число степеней свободы, получим в результате независимые величины, подчиняющиеся -распределению, и можем использовать F-критерий.

Распределение числа степеней свободы по факторам будет таково:

При этом число степеней свободы для взаимодействий равно числу степеней свободы между испытаниями минус число степеней свободы главных эффектов и или Число степеней свободы в каждом испытании а всего таких испытаний что дает степеней свободы для ошибки. Теперь можно составить таблицу дисперсионного анализа (табл. 6.8); при этом, раскрыв скобки, упростим выражения, выразив суммы квадратов через квадраты сумм.

Формулы для суммы квадратов в табл. 6.8 удобны для вычисления в случае двухфакторного дисперсионного анализа с повторными наблюдениями. Сумму квадратов ошибки можно переписать в виде

откуда видно, что суммы квадратов для каждой из ячеек объединяются или складываются. Это основано на предположении, что элементы ячейки можно рассматривать как выборки совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Сумму квадратов для взаимодействий также

можно переписать виде

что снова показывает, что взаимодействия вычисляются вычитанием сумм квадратов главных эффектов из суммы квадратов по ячейкам.

Пример 6.2. Чтобы лучше понять идею факторных экспериментов, рассмотрим задачу с тремя факторами. Такая задача была приведена в гл. 1 при изучении влияния типа инструмента, скоса фаски и типа резания на затраты мощности при резании металла керамическими инструментами. На примере этой задачи покажем фазы эксперимента, планирования и анализа, как это было сделано в примере 6.1.

В этой задаче рассматривается факторный эксперимент типа с четырьмя наблюдениями в каждом варианте, проведенный полностью рандомизированным образом. Математическая модель эксперимента имеет вид

где представляет тройное взаимодействие. Данные этого эксперимента приведены в табл. 1.1, а результаты дисперсионного анализа — в табл. 1.2. То, что этот анализ является простым обобщением методов, использованных в примере 6.1, мы покажем на примере кодированных данных из табл. 1.1 (см. табл. 6.9).

В табл. 6.9 представлены суммы наблюдений и суммы квадратов наблюдений для каждой ячейки. Эти результаты полезны при проведении дисперсионного анализа. Мы сможем здесь показать, как последовательно проводятся все этапы дисперсионного анализа, не прибегая к формулам с использованием в записи точки и т. д.

Сначала найдем общую сумму квадратов. Для этого нужно сложить квадраты всех показаний (числа в квадратных рамках ) и вычесть поправочный член, который

Таблица 6.8. (см. скан) Общий дисперсионный анализ для двухфакторного эксперимента с наблюдениями в каждой ячейке

равен сумме всех наблюдений возведенной в квадрат и деленной на число наблюдений (32).

Чтобы получить сумму квадратов, соответствующую типам инструмента, нужно сложить результаты наблюдений

Таблица 6.9. (см. скан) Кодированные данные из табл. 1.2 для керамических инструментов

для каждого типа. Полученные суммы 3 и —16 нужно возвести в квадрат, разделить на число наблюдений для каждого типа (16), сложить, а затем вычесть поправочный член. Таким образом,

Сумму квадратов для скоса фаски можно получить, производя те же операции с суммами по каждому варианту, — 32 и 19.

Сумма квадратов для типа резания определяется с помощью тех же операций для 25 и —38.

Сумму квадратов для -взаимодействия можно получить, игнорируя тип резания и используя суммы по вариантам для всех Эти суммы равны —10, 13, —22, 6.

Для -взаимодействия, игнорируя скос фаски, используем суммы для -ячеек 17, —14, 8, —24.

Для -взаимодействия, игнорируя тип инструмента, используем суммы для -ячеек

Для тройного -взаимодействия рассмотрим суммы по ячейкам минимального размера 5, 13, -12,-2,-17 и —7; из суммы квадратов по ячейкам вычтем не только суммы квадратов главных эффектов, но также суммы квадратов трех двойных взаимодействий.

Сумму квадратов ошибок получим, вычитая из полной суммы квадратов все полученные величины.

Результаты приведены в табл. 6.10.

Результаты, представленные в табл. 6.10, значительно отличаются от данных табл 1.2. В действительности

Таблица 6.10. Дисперсионный анализ для задачи с керамическим инструментом

они дают одинаковые результаты по F-критерию, но в табл. 6.10 приведены кодированные данные, умноженные на 2; данные в табл. 1.2 не кодированы. При умножении на 2 дисперсия и средний квадрат увеличиваются в 4 раза, так что, если все средние квадраты в табл. 6.10 разделить на 4, результаты совпадут с данными табл. 1.2. Например, для типа инструмента и ошибки имеем соответственно Эта операция необязательна, поскольку нет необходимости проводить декодирование при определении F-отношения. Однако если желательно построить доверительные пределы для исходных данных или компонент дисперсии исходных данных, необходимо произвести декодирование.

Интерпретация результатов этого примера приведена в гл. 1. Цель рассмотрения этого примера снова в этой главе — показать, что факторный эксперимент с тремя или более факторами можно анализировать простым обобщением методов этой главы.