Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. Эксперимент типа 2^2

Простейшим для исследования является случай, когда два изучаемых фактора устанавливаются на двух уровнях. Это факторный эксперимент типа и мы будем проводить его по полностью

рандомизированному плану. Пример 6.1 как раз такого рода; факторы — температура и высота над уровнем моря, устанавливаются на двух уровнях: температура и высота над уровнем моря. Это дает четыре варианта испытаний, представленных на фиг. 6.3; изучаемая переменная — сила тока измеряется в миллиамперах. Чтобы несколько обобщить постановку задачи, будем рассматривать температуру как фактор А и высоту как фактор В. Модель в этом случае для полностью рандомизированного плана имеет вид

где При отсутствии повторных испытаний, конечно, невозможно оценить взаимодействие независимо от ошибки. Из фиг. 6.3 видно, что когда и температура и высота над уровнем моря установлены на нижнем уровне, сила тока принимает значение Это можно обозначить следующим образом: соответствует фактору А на верхнем уровне и фактору В на нижнем уровне, т. е. установлена температура и высота над уровнем моря Зависимая переменная в этом варианте испытаний Аналогично Поскольку эксперимент типа очень часто встречается в литературе, многие авторы ввели другие обозначения для этих вариантов испытаний. В этих новых обозначениях индексы при ставятся в показателе при строчных буквах Если оба фактора на нижнем уровне, , и (1) представляет отклик в испытании, где оба фактора установлены на нижнем уровне. соответствует фактору В на верхнем уровне и фактору А на нижнем, отвечает ситуации, когда фактор А на верхнем уровне и В - на нижнем; представляет отклик, когда оба фактора установлены на верхних уровнях. Эти обозначения можно легко распространить на большее число факторов, если только каждый фактор устанавливается на одном из двух уровней.

Для примера фиг. 6.3 варианты испытаний могут быть представлены вершинами квадрата, как показано на фиг. 7.1.

На фиг. 7.1 нижний и верхний уровни факторов представлены как 0 и 1 соответственно на осях Пересечение этих уровней в плоскости фигуры дает четыре комбинации условий. Например, точка представляет оба фактора на нижних уровнях, точка соответствует ситуации, когда фактор А на верхнем уровне, а фактор В на нижнем Эти выражения чисто символические, и их нужно рассматривать просто как мнемонический способ упрощения записи схемы планирования и его анализа. Обычный порядок записи вариантов испытаний: (1), Заметим, что сначала мы записываем (1), затем верхние уровни каждого фактора в сочетании с нижними уровнями другого фактора и четвертый член — алгебраическое произведение второго и третьего Если включается третий фактор, он помещается в конце последовательности и затем умножается на все предшествующие члены. Например, если фактор С также устанавливается на двух уровнях, то вариантами испытаний будут

они представляют собой вершины куба.

Фиг. 7.1. Факторный эксперимент типа .

Возвращаясь к фиг. 7.1, мы видим, что эффект фактора определяется как изменение отклика при изменении уровня этого фактора. Когда фактор В установлен на нижнем уровне, влияние фактора А равно 240—210 или влияние А при верхнем уровне В будет 200—180 или Следовательно, средний эффект фактора А равен

или

Заметим, что коэффициенты в выражении для эффекта фактора А равны когда фактор А в испытании находится на верхнем уровне и —1, когда фактор А находится на нижнем уровне Заметим также, что

представляет собой контраст, определенный в разд. 3.3 (сумма его коэффициентов Это замечание будет полезно при определении суммы квадратов, соответствующей этому контрасту или эффекту.

Средний эффект фактора В равен полусумме эффектов В при нижнем уровне фактора и при верхнем уровне :

или

и мы снова видим, что использованы те же четыре отклика, но коэффициенты стоят при откликах в тех испытаниях, где фактор В на верхнем уровне, —1 там, где фактор В на нижнем. Таким образом, представляет собой контраст.

Чтобы определить влияние взаимодействия факторов заметим, что, когда фактор В установлен на верхнем уровне, эффект фактора равен а на нижнем уровне фактора В эффект равен а — (1). Если эти два эффекта различны, то существует взаимодействие между факторами А и В. Таким образом, взаимодействие определяется полуразностью между этими двумя величинами:

или

Сюда также входят отклики в тех же четырех вариантах испытаний с новой комбинацией коэффициентов. Заметим, что контраст и все контрасты

ортогональны друг другу. Подводя итог, запишем в обычном порядке

Заметим, что в эффект взаимодействия входят с коэффициентом отклики на одной диагонали квадрата и с коэффициентом другой. Заметим также, что коэффициенты для эффекта взаимодействия можно определить, перемножив соответствующие коэффициенты для двух главных эффектов. Поскольку коэффициенты принимают только значения +1 и —1, значения коэффициентов для всех вариантов испытаний можно определить из табл. 7.1.

Таблица 7.1. Коэффициенты для эффектов факторного эксперимента типа

Из табл. 7.1 легко обнаружить ортогональность фектов, а также получить способ образования коэффициентов для эффекта взаимодействия из коэффициентов для главных эффектов.

При другом подходе к определению взаимодействия между факторами эффект фактора В, когда фактор А установлен на верхнем уровне, равном а, сравнивается с эффектом фактора В при факторе А на

нижнем уровне, равном их полуразность равна

что совпадает с выражением, полученным раньше. Вычислим эффекты для тех значений откликов, которые приведены на фиг. 7.1,

Так как контрасты, то сумма квадратов, соответствующая контрасту, равна

где число наблюдений в каждой ячейке (здесь ). К тому же (или 22). В соответствии с этим определением

Поскольку каждый эффект и взаимодействие имеют только одну степень свободы и ошибку нельзя измерить, так как в каждой ячейке находится только одно наблюдение, дисперсионный анализ этого эксперимента тривиален. Схема дисперсионного анализа приведена в табл. 7.2. Покажем другой подход к анализу эксперимента.

Если общие методы, изложенные в гл. 6, применить к данным фиг. 7.1 (закодированным вычитанием 200 из

Таблица 7.2. Дисперсионный анализ факторного эксперимента типа без повторений

каждого показания), мы получим результаты, представленные в табл. 7.3.

Таблица 7.3. Кодированные данные фиг. 7.1

Мы получили те же самые суммы квадратов, что и в табл. 7.2. Хотя у нас нет отдельной оценки для ошибки, при первом же взгляде на средние квадраты табл. 7.2 видно, что оба главных эффекта велики по сравнению с эффектом взаимодействия.

Результаты этого раздела легко обобщить на случай наблюдений в каждой ячейке, используя суммы по ячейкам в качестве отклика для (1), и соответственно корректируя сумму квадратов для эффектов (см. пример

Пример Рассмотрим факторный эксперимент типа 22 с двумя наблюдениями для каждой ячейки, используя гипотетические отклики для иллюстрации принципов предыдущего раздела. Рассмотрим данные из табл. 7.4.

Таблица 7.4. Факторный эксперимент типа с двумя наблюдениями в каждом испытании

Используя общие методы гл. 6, получаем суммы квадратов

Эти результаты можно было бы записать в таблицу дисперсионного анализа. Используя методы разд. 7.2, получаем суммарные отклики для комбинаций условий

и контрасты

Здесь взят коэффициент 4 при каждом эффекте, гак как суммируются два отклика на каждом уровне. В общем случае этот коэффициент равен где - число повторений в каждом варианте испытаний, число факторов. В нашей задаче

Суммы квадратов для этих трех контрастов равны

так как

Эти результаты совпадают с результатами, полученными общим методом. Чтобы получить сумму квадратов ошибки, нужно, как обычно, вычислить общую сумму квадратов и вычесть из нее поправочный член.

Для специального случая — факторного эксперимента типа 22, Йетс [15] предложил довольно простой способ вычисления этих контрастов. Этот метод можно хорошо иллюстрировать на примере 7.1, используя табл. 7.5.

В первом столбце табл. 7.5 записаны все варианты испытаний; во втором столбце — суммарный отклик для каждого варианта; в третьем столбце, обозначенном суммы пар откликов, а именно для первой пары и для второй, это первая

Таблица 7.5. Метод Йетса для факторного эксперимента типа

половина столбца. Во второй половине столбца записаны разности откликов, при этом всегда предыдущий вычитается из последующего, а именно

Столбец (2) построен таким же образом, что и столбец (1) на основе данных из столбца (1); Продолжая этот процесс, можно получить столбцов: (1), (2), (3), . В нашем случае поэтому здесь только два столбца (1) и (2). Значения в столбце равны контрастам, при этом первый элемент столбца равен сумме всех наблюдений, умноженной на элементы, соответствующие а, равны соответственно Если элементы последнего столбца (столбец ) возвести в квадрат и разделить на то получим суммы квадратов, как показано выше. Первая сумма квадратов [(сумма) 2/8] равна поправочному члену для общего

Таблица 7.6. Метод Йетса для факторного эксперимента типа в общем виде; одно наблюдение в каждой ячейке

среднего, приведенному в гл. 6. Метод Йетса сводит анализ к простому сложению и вычитанию. Этот метод очень удобен для факторных экспериментов типа с наблюдениями в каждой ячейке.

Для обоснования метода Йетса для факторного эксперимента типа 22 проследим все приведенные выше этапы в символах комбинаций условий для откликов, как показано в табл. 7.6.

Очевидно, что последний столбец дает истинные контрасты для испытаний.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление