Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. Два фактора — оба количественные

Если в двухфакторном эксперименте оба фактора имеют два количественных уровня, то для каждого из них можно выделить линейный, квадратический и кубический эффекты, а также определить все комбинации их взаимодействий, как, например, линейный эффект с линейным, линейный с квадратическим, квадратический с квадратическим. Для иллюстрации анализа факторного эксперимента с двумя факторами, имеющими количественные (и отделенные друг от друга равными интервалами) уровни, рассмотрим задачу по изучению влияния радиуса окружности острия ножа в дюймах и силы подачи снопов в фунтах на дюйм на энергию, затрачиваемую на резание люцерны на куски длиной 1 дюйм. Измеряемая переменная (энергия) бралась в фунтодюймах на фунт сухого материала. Полученные данные приведены в табл. 8.10.

Порядок проведения эксперимента был полностью рандомизирован, в каждой ячейке получалось по три

значения отклика. Использовалась модель

Радиус острия ножа и сила подачи снопов фиксировались на четырех количественных уровнях, отделенных друг от друга равными интервалами. Сначала анализ этих данных проводился таким образом, как будто оба фактора качественные. На основе данных табл. 8.10

Таблица 8.10 (см. скан) Данные задачи о резании люцерны

подсчитывались следующие статистики:

Данные дисперсионного анализа приведены в табл. 8.11.

Таблица 8.11. Первичный дисперсионный анализ для задачи о резании люцерны

Результаты этого первичного анализа показывают, что радиус острия ножа имеет высоко значимое влияние на потребляемую энергию. Заметное влияние силы подачи снопов отсутствует, взаимодействие тоже не значимо с 5%-ным уровнем значимости.

Так как оба фактора количественные, далее соответствующие им эффекты будут разбиты для того, чтобы попытаться определить зависимость потребляемой энергии от каждого фактора. Хотя влияние силы подачи снопов здесь и не значимо, тем не менее для

иллюстрации метода анализа этот эффект тоже будет разбит на составные части. Так как оба фактора устанавливаются на четырех количественных равноотстоящих уровнях, то коэффициенты для сумм по каждому фактору являются коэффициентами ортогональных полиномов (см. табл. Е приложения).

Применяя эти коэффициенты к суммам для радиуса и для силы, можно определить следующие линейные, квадратические и кубические эффекты и суммы квадратов:

(см. скан)

Каждый из этих эффектов имеет одну степень свободы, и для каждого из них можно проверить значимость. -взаимодействие с 9 степенями свободы можно разбить на 9 компонент с одной степенью свободы:

На практике часто бывает трудно дать интерпретацию некоторым из этих более высоких полиномиальных взаимодействий, иногда подсчитываются только взаимодействия линейных эффектов с линейными, линейных с квадратическими и квадратических с линейными и оставшиеся рассматриваются вместе как остаточное взаимодействие. Но так как наша цель — иллюстрировать метод анализа, то подсчитаем все девять компонент. Поскольку при подсчете эффектов взаимодействия используются суммы для ячеек, то простая схема расчета этих

Таблица 8.12. Взаимодействие типа линейный эффект х линейный эффект

взаимодействий с одной степенью свободы включает только эти суммы и соответствующие коэффициенты. Соответствующие коэффициенты этих сумм для ячеек можно определить перемножением коэффициентов для главных эффектов. Для иллюстрации этого метода рассмотрим -взаимодействие (табл. 8.12).

Умножение коэффициентов, относящихся к на ко эффициенты, относящиеся к дает коэффициенты в левых верхних углах ячеек табл. 8.12. Далее эти коэффициенты применяются к соответствующим суммам для ячеек. В результате получается контраст

Тогда сумма квадратов для будет равна

Для взаимодействия используем линейные коэффициенты для умноженные на квадратические коэффициенты для как показано в табл. 8.13.

Таблица 8.13. Взаимодействие типа линейный эффект х квадратический эффект

Эти коэффициенты в ячейках далее применяются к суммам для ячеек

Для -взаимодействия коэффициенты приведены в табл. 8.14.

Таблица 8.14. Взаимодействие типа линейный эффект х кубический эффект

Для -взаимодействия коэффициенты даны в табл. 8.15.

Для -взаимодействия коэффициенты приведены в табл. 8.16.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Коэффициенты для -взаимодействия показаны в табл. 8.19.

Таблица 8.19. Взаимодействие типа кубический эффект х квадратический эффект

Для -взаимодействия коэффициенты приведены в табл. 8.20.

Таблица 8.20. Взаимодействие типа кубический эффект х кубический эффект

Если сложить все суммы квадратов, относящиеся к каждому из этих взаимодействий с одной степенью свободы, то получим сумму квадратов всех -взаимодействий:

Объединяя все приведенные выше результаты в полную таблицу дисперсионного анализа, включающую -отношение для проверки значимости, получаем табл. 8.21.

Полный анализ табл. 8.21 показывает, что изменение радиуса острия ножа дает высокозначимый линейный эффект, а также значимый квадратический эффект. Эффекты силы оказались незначимыми, но при этом имеется высокозначимое взаимодействие между кубической компонентой радиуса и линейной компонентой силы, а также значимое взаимодействие между квадратической компонентой радиуса и кубической компонентой силы. Это -взаимодействие может означать, что линейные изменения в силе приводят к различным для разных радиусов кубическим трендам. -взаимо-действие также может означать, что изменения радиуса по квадратическому закону приводят к различным кубическим трендам в зависимости от силы. Некоторые из этих заключений можно получить из рассмотрения графика изменения средних по ячейкам в зависимости от радиуса для четырех уровней силы (фиг. 8.5).

Из фиг. 8.5 видно, что имеется большой линейный эффект, а также общий квадратический эффект изменения радиуса. То, что линии расположены близко друг

Таблица 8.21. (см. скан) Полный дисперсионный анализ для задачи с люцерной


к другу, указывает на отсутствие эффекта изменения силы. Непараллельное кривых свидетельствует о наличии некоторого вида взаимодействия. На фиг. 8.6 приведены кривые, проведенные по средним для ячеек в зависимости от силы на четырех уровнях радиуса.

Из этих кривых видно, что имеется большой эффект радиуса, на что указывают значительные интервалы между большинством кривых. Это также помогает обнаружить разный криволинейный эффект изменения радиуса при линейных изменениях силы.

(кликните для просмотра скана)

8.5. Сводка результатов

Методы, примененные в этой главе, можно легко распространить и на эксперименты с большим числом факторов в случаях, когда один или более факторов рассматриваются на количественных уровнях. Если эксперимент спланирован таким образом, что количественные уровни отделены друг от друга равными интервалами, то анализ упрощается, если использовать ортогональные полиномы. Материалы этой главы не изменяют сводку результатов, приведенную в конце гл. 7, так как эти методы можно использовать для всех экспериментов, которые включают количественные уровни.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление