Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2. Факторный эксперимент типа 3^2

Если в эксперименте пересекаются только два фактора и для каждого из них выбираются два уровня, то имеют место 3X3 = 9 комбинаций условий. Поскольку каждый фактор может устанавливаться на трех уровнях, обозначения, принятые в гл. 7, не подходят. Теперь для каждого фактора имеются нижний, основной и верхний уровни, которые можно обозначить как 0, 1 и 2. При таком выборе уровней модель имеет вид

где член, выражающий ошибку, смешивается с взаимодействием если некоторые из девяти опытов повторяются, то

где число повторений.

Таблица 9.1. (см. скан) Схема факторного эксперимента типа с результатами и суммами

Чтобы ввести обозначения для комбинаций условий, когда берутся три уровня факторов, рассмотрим схему данных, изображенную на фиг. 9.1. На фиг. 9.1 для обозначения каждой из девяти комбинаций условий используются две цифры. Первая цифра показывает уровень фактора а вторая — уровень фактора В. Так, 12 обозначает, что фактор А берется на основном уровне, а фактор В — на верхнем уровне. Эти обозначения можно легко распространить на случай большего числа факторов и сколь угодно большого числа уровней. Для факторных экспериментов

Фиг. 9.1. Структура факторного эксперимента типа

типа также можно было бы использовать обозначения и 10 для эффектов (1), соответственно. Единственной причиной, почему для факторных экспериментов типа не используются цифровые обозначения, является то, что в литературе большей частью приняты обозначения (1), Путем соответствующего выбора коэффициентов для этих комбинаций условий можно определить линейные и квадратические эффекты как фактора так и фактора В, а также их взаимодействия Методы анализа будут проиллюстрированы на простом гипотетическом примере.

Предположим, что результаты, записанные в табл. относятся к комбинациям условий, указанным в верхнем левом углу каждой ячейки.

Анализируя данные, приведенные в табл. 9.1, общим методом, изложенным в гл. 6, получаем

Схема дисперсионного анализа показана в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Дисперсионный анализ для факторного эксперимента типа представленного в табл. 9.1

Теперь можно произвести дальнейшее расщепление данных этого анализа, имея в виду, что коэффициенты и относящиеся к результатам, полученным на нижнем, основном и верхнем уровнях фактора, соответствуют его линейным эффектам, в то время как коэффициенты отнесенные к тем же результатам, соответствуют квадратическому эффекту этого фактора. Как и в случае коэффициентов факторного эксперимента типа произведения коэффициентов дают соответствующие коэффициенты для различных взаимодействий. Лучше всего это можно показать с помощью табл. 9.3, где указаны коэффициенты для каждого эффекта, который будет использован с девятью комбинациями условий.

Из табл. 9.3 можно видеть, что сравнивает все верхние уровни со всеми нижними уровнями сравнивает оба крайних уровня с удвоенными значениями основных уровней. Оба эти эффекта берутся по всем уровням фактора В. сравнивает верхний уровень фактора В с нижним при

Таблица 9.3. Коэффициенты для факторного эксперимента типа с количественными уровнями

уровне 0 фактора затем при уровне 1 фактора затем при уровне 2 фактора читая слева направо по всем уровням фактора Аналогично сравнивает крайние уровни фактора В с удвоенными значениями основных уровней при всех трех уровнях фактора Коэффициенты для взаимодействия находятся путем перемножения соответствующих коэффициентов для основных эффектов. Исследование эгих коэффициентов сточки зрения здравого смысла позволяет предположить, что коэффициенты кажутся вполне правдоподобными. Суммы квадратов коэффициентов приводятся в правой части табл. 9.3.

Применяя эти коэффициенты к результатам для каждой комбинации условий, получаем

(см. скан)

Соответствующие суммы квадратов равны

Группируя эти данные, получаем табл. 9.4.

Таблица 9.4. (см. скан) Схема расщепленного дисперсионного анализа для факторного эксперимента типа

Результаты этого анализа нельзя проверить, поскольку отсутствует отдельный показатель ошибки; эффект взаимодействия, очевидно, велик по сравнению с другими эффектами. Так как используемые здесь числа являются чисто условными, цель состоит в том, чтобы показать, каким образом можно проанализировать эти данные и как при этом можно использовать обозначения.

Прежде чем покончить с этой задачей, рассмотрим еще раз данные, приведенные в табл. 9.1. Просуммируем эти данные не по строкам и столбцам, а по диагоналям. Рассмотрим вначале диагонали, идущие вниз слева направо, где главная диагональ дает следующая диагональ, идущая направо, дает Здесь последнее значение находится путем повторной записи этой же таблицы справа от данной, как показано в табл. 9.5. Аналогично следующая диагональ,

Таблица 9.5. Вычисление по диагоналям

идущая вниз, дает Сумма квадратов этих трех диагональных членов равна

Если рассмотреть теперь диагонали, идущие вниз справа налево, то их суммы будут равны

и сумма квадратов составляет

Эти две несколько искусственно образованные суммы квадратов, равные 6,89 и 16,22, при сложении дают сумму квадратов взаимодействия

Слагаемые суммы квадратов взаимодействия не имеют физического смысла, а просто иллюстрируют другой способ нахождения двух ортогональных компонент взаимодействия. Проверка на значимость каждого из них в отдельности не имеет смысла, однако это произвольное разбиение очень полезно для более сложных планов. Компоненты некоторые авторы называют компонентами взаимодействия:

Каждая такая компонента имеет 2 степени свободы. Иногда их называют компонентами и взаимодействия При таких обозначениях эффекты можно перемножать, используя модуль 3, поскольку рассматривается факторный эксперимент типа Модуль 3 означает, что получаемое число равно остатку от деления на 3 числа обычной десятичной системы счисления. Так, по модулю 3, так как остаток при делении 4 на 3 равен 1. Справедливы следующие соотношения:

При использовании формы предполагается, что для первой буквы этого выражения допускается наличие единственного показателя степени 1. Чтобы получить 1, это выражение можно возвести в квадрат и преобразовать по модулю 3. Например,

Таким образом, и являются компонентами взаимодействия В с двумя степенями свободы каждая. Здесь эти два типа обозначений связаны друг с другом следующим образом:

Заканчивая рассмотрение этого простого эксперимента, запишем все эффекты с двумя степенями свободы, как показано в табл. 9.6.

Таблица 9.6. Анализ факторного эксперимента типа с двумя степенями свободы на каждый эффект

При рассмотрении более сложных планов мы увидим, что весьма удобно разбивать такие эксперименты на эффекты с двумя степенями свободы. Здесь эта схема приводится лишь для того, чтобы показать еще один способ разбиения эффекта взаимодействия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление