Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.3. Факторный эксперимент типа 3^3

Если экспериментатор имеет три фактора, каждый из которых может устанавливаться на трех уровнях, т. е. рассматривается факторный эксперимент типа то имеется несколько путей разбиения эффектов факторов и соответствующих взаимодействий. Если порядок проведения эксперимента полностью рандомизирован, то модель для такого эксперимента имеет вид

где последние два члена не разделяются, если опыты в ячейках не повторяются. В этой модели ;

что дает 27 комбинаций условий. Эти 27 комбинаций условий могут быть такими, как показано в табл. 9.7. Использование соответствующих коэффициентов с этими 27 комбинациями условий позволяет применить схему анализа, представленную в табл. 9.8, если все эффекты заданы на количественных уровнях. В реальной задаче эти тройные взаимодействия бывает трудно объяснить, и довольно часто взаимодействие с восемью степенями свободы можно использовать в качестве члена ошибки для проверки основных эффектов и парных взаимодействий.

Таблица 9.7. Комбинации условий факторного эксперимента типа

Другим возможным разбиением этих эффектов является использование компонент с двумя степенями свободы для взаимодействий и Эти компоненты, каждая из которых имеет две степени свободы, можно обозначить как и Однако может потребоваться также разбить и тройное взаимодействие с восемью степенями свободы. Иногда взаимодействие разбивается на четыре компоненты с двумя степенями свободы каждая,

Таблица 9.8. (см. скан) Анализ факторного эксперимента типа для линейных и квадратических эффектов


обозначаемые как или, если используются обозначения предыдущего раздела, как Здесь снова первый символ не возводится в квадрат, и (по модулю 3). Такая схема разбиения показана в табл. 9.9.

Пример 9.1. Задачу, в которой рассматривается влияние трех факторов, каждый из которых может устанавливаться на трех уровнях, предложил профессор Бёрр из университета Парду. В данном случае измеримой переменной является выход продукта, и факторами, которые могут влиять на этот результат, являются дни,

(кликните для просмотра скана)

операторы и концентрации раствора. Были выбраны три дня, три оператора и три концентрации. Дни и операторы являются качественными эффектами, а концентрации— количественными. Выбраны следующие значения концентрации: 0,5; 1,0 и 2,0. Хотя промежутки между этими значениями не одинаковы, логарифмы этих трех уровней являются равноотстоящими. Для удобства все уровни каждого фактора рассматриваются как фиксированные, а план полагается полностью рандомизированным. Было решено каждую из комбинаций условий повторить три раза. Данные после кодирования их путем вычитания 20,0 представлены в табл. 9.10. Если эти данные анализируются на чисто количественной основе, то можно использовать методы, рассмотренные в разд. 6.4. Полученная схема дисперсионного анализа показана в табл. 9.11.

Таблица 9.11. Первая схема дисперсионного анализа для примера 9.1

Моделью для данного примера является плюс сумма членов, записанных в столбце «Источник изменчивости» табл. 9.11. Из этого анализа видно, что эффект концентрации велик, а дни, операторы и взаимодействие (день) X (оператор) значимы при -ном уровне значимости.

Поскольку для концентрации берутся количественные уровни, можно вычислить линейный и квадратический эффекты концентрации, а также взаимодействия между линейным эффектом концентрации и днями, между квадратическим эффектом концентрации и днями, между линейным эффектом концентрации и операторами и между квадратическим эффектом концентрации и операторами. Находить таким путем тройное взаимодействие обычно не следует. Для расчета этих количественных эффектов обычно целесообразно составить некоторые таблицы с двумя входами для взаимодействий, которые вычисляются (табл. 9.12, а и табл. 9.12,б).

Таблица 9.12. Суммы для ячеек в случае взаимодействий и

Умножая коэффициенты для вычисления линейных и квадратических членов на суммы для концентраций из табл. 9.12, а, имеем

Для взаимодействия рассмотрим каждый день отдельно:

Тогда для взаимодействия сумма квадратов будет равна

Для квадратического эффекта:

Тогда для взаимодействия сумма квадратов будет равна

и сумма квадратов для взаимодействия составит

Если теперь применить эту же методику к данным табл. 9.12,б, то получим, что для взаимодействия сумма квадратов равна

а для взаимодействия

Сумма квадратов для взаимодействия равна

Полученная теперь схема дисперсионного анализа показана в табл. 9.13.

Таблица 9.13 (см. скан) Вторая схема дисперсионного анализа для примера 9.1

Эта вторая схема анализа показывает, что линейный и квадратический эффекты концентрации чрезвычайно значимы. Графики на фиг. 9.2, а и 9.2, б позволяют наглядно представить, что происходит в действительности в этом эксперименте.

Слева (фиг. 9.2, а) показано влияние операторов, дней и взаимодействия Из фиг. 9.2,б видно, что линейный эффект концентрации значительно сильнее

Таблица 9.14. Суммы для ячеек в случае взаимодействий

квадратического эффекта и значимое взаимодействие отсутствует. Если бы этим данным соответствовала какая-либо прямая линия или какие-либо три прямые линии, то мы использовали бы логарифмы концентраций, поскольку эти логарифмы являются равноотстоящими.

Фиг. 9.2. Графики, построенные по данным табл. 9.10 для примера эксперимента типа

Хотя на этом обычно заканчивается анализ такой задачи, разобьем каждое взаимодействие на диагональные компоненты чтобы проиллюстрировать этот метод. Для вычисления двух диагональных компонент парного взаимодействия можно использовать две части табл. 9.12 совместно с аналогичной таблицей для взаимодействия (см. табл. 9.14).

Из табл. 9.14 находим диагональные компоненты взаимодействия Обозначим их через

Сумма совпадает с суммой квадратов для взаимодействия Применяя эту же методику к двум частям табл. 9.12, получаем

Для разбиения взаимодействия с восемью степенями свободы образуем таблицу показывающую каждый из трех уровней концентрации С (см. табл. 9.15).

Таблица 9.15. Суммы для ячеек в случае взаимодействия при каждом уровне концентрации

Таблица 9.16. Диагональные суммы для каждого уровня концентрации

Для каждого из этих уровней концентрации найдем суммы для эффектов например, при

Образуем теперь таблицу с этими компонентами для каждого уровня концентрации С (см. табл. 9.16).

Будем рассматривать каждую половину табл. 9.16 как простое взаимодействие и вычислим составляющие Таким образом,

Сумма для взаимодействия сравнима с 1,09 в табл. 9.13. Последнее разбиение на четыре части можно выполнить также, рассматривая взаимодействие при трех уровнях фактора или взаимодействие при трех уровнях фактора

Полученный анализ сведен в табл. 9.17.

Результаты анализа в значительной мере согласуются с данными, приведенными в табл. 9.11 и 9.13. Никаких новых проверок по данным, записанным в табл. 9.17, выполнить нельзя, поскольку они представляют собой лишь произвольное разбиение взаимодействия на компоненты с двумя степенями свободы каждая. Цель такого разбиения будет рассмотрена в последующих главах. Для проверки гипотезы об отсутствии взаимодействия эти компоненты снова складываются.

Таблица 9.17. Третья схема дисперсионного анализа для факторного эксперимента типа

9.4. Сводка результатов

Теперь можно продолжить сводку результатов, приведенную в конце гл. 7 (разд. 7.5).

(см. скан)

(см. скан)

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление