Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.4. Правила, позволяющие находить выражения для математического ожидания средних квадратов

На двух приведенных выше примерах была показана важность математических ожиданий средних квадратов при определении проверок значимости, которые должны применяться после завершения анализа. Вследствие важности величин математического ожидания средних квадратов для этих и других более сложных моделей часто бывает полезно иметь некоторый простой метод определения этих значений из модели для данного эксперимента. Можно сформулировать набор правил, позволяющих весьма быстро находить выражения для математического ожидания средних квадратов, не прибегая к их выводу. Эти правила будут проиллюстрированы на модели двухфакторного смешанного эксперимента, рассмотренного в разд. 10.3. Чтобы найти выражения для математического ожидания средних квадратов для любой модели, поступаем следующим образом:

1. Записываем переменные члены модели в качестве наименований строк таблицы с двумя входами.

2. Записываем индексы, используемые в модели, в качестве наименований столбцов; над каждым индексом ставим если уровни фактора фиксированы, и если они случайны. Записываем также число наблюдений, которое должен охватывать каждый индекс.

3. В каждой строке (т. е. для каждого члена модели) под каждым индексом записываем число наблюдений, если только данный индекс не встречается в наименовании строки.

4. Для каждого члена модели, индексы которого заключены в скобки, записываем 1 под теми индексами, которые находятся в скобках.

5. Записываем в остальных местах 0 или 1 в зависимости от того, относится данный индекс к фактору с фиксированными или случайными уровнями.

6. Находим математическое ожидание средних квадратов для каждого члена модели.

Для этого закрываем элементы столбца (или столбцов), содержащего индексы заданного члена модели, не заключенные в скобки (например, для закрываем столбец для закрываем столбец

Перемножаем оставшиеся элементы каждого ряда. Каждое из этих произведений является коэффициентом для соответствующего члена модели, если только индекс этого члена является также индексом члена, математическое ожидание среднего квадрата которого определяется. Сумма этих коэффициентов, умноженная на дисперсию соответствующих им членов, равна математическому ожиданию средних квадратов рассматриваемого члена. (Например, для закрываем столбец Произведения оставшихся коэффициентов равны и 1, однако первое значение не используется, поскольку в индексе соответствующего члена отсутствует В данном случае математическое ожидание средних квадратов равно Применяя эти правила для всех членов, получаем

Как видим, эти результаты согласуются с математическими ожиданиями средних квадратов для смешанной модели, рассмотренной в разд. 10.3. Здесь дисперсия фиксированного типа

Хотя эти правила кажутся довольно сложными, после небольшой практики использование их не вызывает затруднений. Проиллюстрируем это положение на более сложном примере.

Пример 10.1. Студент машиностроительной специальности желает определить влияние пяти различных зазоров на время, необходимое для постановки и монтажа сопряженных деталей. Поскольку во всех таких экспериментах подразумевается участие операторов, естественно рассматривать случайную выборку операторов, выполняющих эксперимент. Кроме того, студент принял решение о том, что деталь должна монтироваться непосредственно перед оператором и на расстоянии вытянутой руки от него. Для проверки были выбраны четыре различных угла: нуль градусов (т. е. непосредственно перед оператором), а также 30, 60 и 90 градусов относительно этого положения. Таким образом, были введены четыре фактора, каждый из которых может оказать влияние на время, необходимое для постановки и монтажа детали. Экспериментатор принял решение повторить опыты шесть раз и полностью рандомизировать порядок эксперимента. В данном случае операторы устанавливаются на случайных уровнях (выбрано шесть операторов), углы на четырех фиксированных уровнях (0, 30, 60 и 90 градусов), зазоры на пяти фиксированных уровнях, а положение деталей фиксируется либо перед оператором, либо на расстоянии вытянутой руки от него. Данный эксперимент является факторным типа с повторением опытов шесть раз по полностью рандомизированному плану. Математические ожидания средних квадратов можно определить, как показано в табл. 10.1, с помощью правил, проведенных в данном разделе.

Таблица 10.1. (см. скан) Математическое ожидание средних квадратов для задачи о величине зазора

Из этой таблицы видно, что основной эффект оператора и все взаимодействия операторов с другими факторами проверяются с помощью среднего квадрата ошибки, записанного внизу таблицы. Все взаимодействия и основные эффекты, включающие фиксированные факторы, сопоставляются с помощью среднего квадрата, записанного в таблице непосредственно под ними.

Правила, приведенные в данном разделе, являются достаточно общими и, как будет показано в последующих главах, их можно применять при самых сложных планах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление