Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5. Вывод формул для математического ожидания средних квадратов

Введение

Чтобы найти математическое ожидание средних квадратов из модели некоторой задачи, необходимо дать определение некоторых терминов, связанных с математическими ожиданиями. Математическим ожиданием случайной величины X можно считать среднее значение этой величины по большому интервалу, записанное как

где истинное среднее по всем значениям X данной совокупности; можно рассматривать также как сумму взвешенных значений каждой случайной величины где веса рассматриваются как вероятности появления каждого значения Таким образом, для дискретных X

а для непрерывных X

Поскольку дисперсия является средним по большому интервалу квадратов отклонений от среднего значения, можно записать

для дискретных X и

для непрерывных

Поскольку определенная в гл. 2 оценка является несмещенной,

Это выражение связывает математическое ожидание суммы квадратов отклонений от выборочного среднего X с дисперсией совокупности, из которой берется выборка. Из последнего выражения следует, что

и в общем случае

где число степеней свободы, соответствующее сумме квадратов, записанной в левой части выражения (10.3).

Ниже приводится несколько основных теорем, связанных с математическими ожиданиями. Эти теоремы могут пригодиться впоследствии,

где постоянная;

где постоянная,

Последнее выражение можно распространить на случай нескольких случайных величин.

Все эти соотношения можно использовать при нахождении математических ожиданий средних квадратов путем применения к среднему квадрату данного члена модели оператора математического ожидания Е.

Однофакторный эксперимент Для однофакторного эксперимента

Необходимо определить математические ожидания средних квадратов для членов

Из разд. 3.3 известно, что сумма квадратов для эффекта условий испытания имеет вид

где число наблюдений на опыт полагается постоянным и равным Используя модель (10.8), получаем

Кроме того,

Вычитая равенство (10.10) из равенства (10.9), имеем

Возводя в квадрат, получаем

Умножая на и суммируя по находим

Теперь к данной сумме квадратов можно применить оператор математического ожидания. Получаем

поскольку можно показать, что математическое ожидание члена, содержащего удвоенное произведение первого члена на второй, равно нулю.

Если уровни опытов фиксированы, то

принимает вид

поскольку ошибки случайны, а 2 Т) — постоянная.

поэтому

что согласуется со значением, полученным в разд. 10.2, Однако если уровни опытов случайны, то

и, используя формулу (10.3), получаем

что снова согласуется с результатами, полученными в разд. 10.2 для модели со случайными уровнями факторов.

Из гл. 3 известно, что средний квадрат ошибок имеет вид

Вычитая равенство (10.9) из равенства (10.8), получаем

Возводя в квадрат и суммируя, находим

Беря математические ожидания, имеем

и

что и следовало ожидать.

Двухфакторный эксперимент

Для двухфакторного эксперимента модель имеет

где .

Сумма квадратов для фактора А составит

Для модели с уравнением (10.11) имеем

Вычитая, получаем

Заметим, что эффект фактора В исключается из суммы квадратов фактора что и следовало ожидать, поскольку являются ортогональными эффектами

факторного эксперимента. Возводя в квадрат и суммируя, получаем

Беря математическое ожидание для модели с фиксированными уровнями факторов, где

получаем

что согласуется с результатами, полученными в разд. 10.3 для модели с фиксированными уровнями факторов. Если же уровни факторов случайны, то

что и было показано в разд. 10.3 для модели со случайными уровнями факторов.

Для случая модели смешанного типа, где А — фиксированный, случайный факторы, имеем

однако

тогда

что согласуется со значением, полученным в разд. 10.3 для модели смешанного типа.

Используя эти методы определения математического ожидания, можно получить математические ожидания всех средних квадратов, данных в разд. 10.3. Следует заметить, что если в модели смешанного типа уровни фактора А случайны, то

и в сумме квадратов для фактора А член, выражающий взаимодействие факторов, отсутствует. Это же справед ливо и в отношении фактора В для модели смешанного типа, рассмотренной в разд. 10.3.

Этих немногих примеров достаточно для того, чтобы проиллюстрировать общий метод получения формул для математических ожиданий средних квадратов и показать преимущества простых правил определения математических ожиданий, изложенных в разд. 10.4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление