Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.2. Факторный эксперимент в рандомизированных блочных планах

В формулах (6.1) и (6.2) расчленение факторов производилось путем разбиения эффекта условий испытания, точно так же, как и в случае рандомизированного полноблочного плана, рассмотренного в гл. 4 (разд. 4.2).

Напомним, что для полностью рандомизированного плана модель

можно записать как

где

Если полный эксперимент повторяется несколько раз, то модель эксперимента с рандомизированными блоками принимает вид

где обозначает блоки или реплики, а условия испытания. Если используются варианты испытаний по схеме двухфакторного эксперимента, то

и полная модель имеет вид

В данном случае предполагается отсутствие взаимодействия между репликами (блоками) и вариантами испытаний. Обычно это допущение лежит в основе плана с рандомизированными блоками. Каждое такое взаимодействие смешивается с ошибкой эксперимента

Чтобы получить более конкретное представление о планировании экспериментов такого рода, рассмотрим эксперимент, в котором фактор А имеет три уровня, фактор В — два уровня и каждый опыт повторяется четыре раза. Комбинации условий можно обозначить через При планировании этого эксперимента предполагается, что все эти шесть комбинаций можно выполнить в указанный день, если дни являются репликами или блоками. Порядок выполнения эксперимента, при котором эти шесть вариантов испытаний рандомизированы внутри каждой реплики, может иметь вид

Схема анализа может быть аналогична показанной в табл. 12.1.

Таблица 12.1 План с рандомизированными блоками для двухфакторного эксперимента

Чтобы показать, каким образом взаимодействие реплик с условиями испытаний используется как ошибка, рассмотрим развернутую модель и соответствующие математические ожидания средних квадратов, показанные в табл. 12.2. В данном случае факторы фиксированы, а реплики считаются случайными.

Поскольку для указанных проверок число степеней свободы довольно мало и отдельная оценка дисперсии ошибки отсутствует, обычно полагают, что и соответствующие три члена объединяются и служат для оценки дисперсии ошибки. Упрощенная модель показана в табл. 12.3.

Здесь все эффекты сопоставляются с ошибкой при 15 степенях свободы. Хотя обычно объединяются взаимодействия для реплик с эффектами условий испытаний, чтобы получить ошибку, однако это не всегда

(кликните для просмотра скана)

необходимо и зависит от наличия в табл. 12.2 числа степеней свободы, достаточного для проверки различных гипотез, а также от возможности выполнения повторных измерений в пределах реплики. Если последнее имеет место, то оказывается возможным оценить дисперсии для ошибки и в табл. 12.2 можно выполнить все проверки.

Пример 12.1. В университете Парду одного из исследователей интересовало определение влияния типа форсунки и влияние оператора на скорость потока жидкости через эти форсунки, выраженную в кубических сантиметрах за единицу времени. Исследователь рассмотрел три фиксированных типа форсунок и пять случайным образом выбранных операторов. Каждая из этих 15 комбинаций должна повторяться случайным образом в течение каждого из трех дней. Эти три дня будут рассматриваться как три реплики полного факторного эксперимента типа . Вычитая из каждого отсчета и умножая результат на 10, получаем схему анализа и данные эксперимента (в кубических сантиметрах), записанные в табл. 12.4.

Таблица 12.4 Данные для задачи о форсунках

Модель для данного примера имеет вид

где уровни случайны, уровни также случайны, а уровни фиксированы. Если в данной модели рассматривается повторных измерений, но то получим

математические ожидания средних квадратов, приведенные в табл. 12.5.

Таблица 12.5 Математическое ожидание средних квадратов в задаче о форсунках

Эти математические ожидания средних квадратов показывают, что все основные эффекты и взаимодействия можно проверить достаточно точно (число степеней свободы достаточно велико). Суммы квадратов вычисляются обычным способом с помощью неполных сумм, приведенных в табл. 12.6.

Таблица 12.6 Неполные суммы в задаче о форсунках

Используя эти неполные суммы, можно легко вычислить обычные суммы квадратов и получить результаты, представленные в табл. 12.7.

Таблица 12.7 (см. скан) Дисперсионный анализ для задачи о форсунках

Результаты проверки гипотез для данной модели показывают лишь наличие значимого взаимодействия (форсунка) X (оператор) при уровне значимости 5%.

Фиг. 12.1. Взаимодействие между форсунками и операторами в задаче о форсунках.

Все суммы, записанные в правой части табл. 12.6, изображены графически на фиг. 12.1.

(кликните для просмотра скана)

При желании модель для настоящего примера можно записать более подробно, включив в нее оценки взаимодействий а также используя в качестве ошибки тройное взаимодействие Схема анализа для такой модели записана в табл. 12.8.

Проверка с помощью критерия F показывает отсутствие значимых эффектов. Взаимодействие не является значимым, как это имело место в табл. 12.7, поскольку критерий менее чувствителен вследствие уменьшения числа степеней свободы в среднем квадрате ошибки с 28 до 16. Поскольку как для взаимодействия так и для взаимодействия критерий F меньше единицы, по-видимому, целесообразно предположить, чтоа и равны нулю; тогда суммируя оценки этих величин с оценкой получим, как и в табл. 12.7, средний квадрат ошибки с 28 степенями свободы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление