Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 13. ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С РАСЩЕПЛЕННЫМИ ДЕЛЯНКАМИ

13.1. Введение

Во многих экспериментах, где желательно расчленение факторов, может оказаться невозможным полностью рандомизировать порядок эксперимента. В предыдущей главе рассматривались ограничения на рандомизацию и изучались планы с рандомизированными блоками и в виде латинского квадрата. Однако на практике встречается большое число случаев, когда совершенно невозможно провести рандомизацию внутри блока. При определенных условиях эти ограничения приводят к планам с расщепленными делянками. Покажем на примере, почему такие эксперименты встречаются довольно часто.

Таблица 13.1 Данные о проверке срока службы элементов электрической цепи

Пример 13.1. Данные, приведенные в табл. 13.1, показывают влияние температуры печи Т и времени обжига В на срок службы X элемента электрической цепи.

Если посмотреть только на эту таблицу данных, то можно подумать, что мы имеем дело с факторным экспериментом типа 4X3 с повторением каждого опыта три раза.

Таблица 13.2 Дисперсионный анализ факторного эксперимента по проверке срока службы

Здесь только температура оказывает значимое влияние на срок службы элемента при уровне значимости 1%.

Теперь можно отыскать линейный, квадратический и кубический эффекты температуры, однако прежде чем приступать к анализу, необходимо затронуть некоторые вопросы, касающиеся планирования эксперимента. Каким должен быть порядок проведения эксперимента? Приведенный выше анализ данных предполагает наличие полностью рандомизированного плана. Это означает, что одно из четырех значений температуры выбирается случайным образом и печь нагревается до этой температуры. После этого случайным образом выбирается время обжига, а затем элемент помещается в печь и обжигается там в течение выбранного промежутка времени. Затем весь процесс повторяется до тех пор, пока

не будут накоплены все результаты. Действительно ли этот эксперимент проводился именно таким образом? Ответ, разумеется, будет отрицательным. Как только печь нагревается до заданной температуры, в нее помещаются все девять элементов; три из них обжигаются в течение 5 минут, три — в течение 10 минут, а три — в течение 15 минут. Можно показать, что лишь данный порядок проведения эксперимента является наиболее целесообразным с практической точки зрения. Полная рандомизация не только нецелесообразна, но и сопряжена с очень большими затратами. К счастью, с таким ограничением, налагаемым на полную рандомизацию, можно справиться, используя так называемый план с расщепленными делянками.

Четыре уровня температуры называются делянками. Их можно было бы назвать блоками, однако в предыдущей главе блоки и реплики использовались для повторения всего эксперимента. [Слово «делянка» (plot) унаследовано из сельскохозяйственных приложений.] При таком порядке проведения эксперимента основной фактор — температура, смешивается с этими делянками. Если от одного значения температуры печи к другому условия эксперимента изменяются, то эти изменения будут проявляться как изменения, обусловленные разностями температур. Таким образом, при таком планировании основной эффект смешивается с эффектом делянок. Это необходимо вследствие того, что часто на практике такой порядок проведения эксперимента оказывается наиболее целесообразным. Поскольку в данном случае температура устанавливается путем случайного выбора одного из значений, в печь можно помещать три элемента и один элемент можно обжигать в течение 5 мин, второй — в течение 10 мин, а третий — в течение 15 мин. Элемент, который должен обжигаться в течение 5, 10 или 15 мин также находится путем случайного выбора. Три уровня длительности обжига можно рассматривать как расщепление делянки на три части — по числу значений длительности обжига. Это определяет три части основной делянки, называемые расщепленными делянками. Заметим, что в печь помещаются не девять элементов, а лишь три. Затем температура изменяется до

другого уровня и в печь помещаются еще три элемента, соответственно на 5, 10 и 15 мин. Эта операция проводится для всех четырех значений температуры, после этого весь эксперимент может повторяться. Повторные эксперименты могут проводиться спустя несколько дней после первоначального эксперимента; действительно, часто бывает желательно вначале накопить данные от двух-трех повторных экспериментов, а затем уже принимать решение относительно необходимости большего числа повторных экспериментов.

Фактически рассмотренный эксперимент проводился как эксперимент с расщепленными делянками, и его матрица планирования показана в табл. 13.3.

Таблица 13.3 Планирование эксперимента с расщепленными делянками по определению срока службы элементов электрической цепи

Здесь значения температуры смешиваются с делянками, и ячейки называются целыми делянками. Внутри целой делянки длительности обжига относятся к одной трети всех данных. Эти делянки, связанные с тремя длительностями обжига, называются расщепленными. Так как один основной эффект смешивается с делянками, а другой основной эффект не смешивается,

обычно желательно подвергнуть расщеплению тот основной эффект, проверка которого нас больше всего интересует, поскольку этот фактор не смешивается.

Можег показаться, что фактор В (длительность обжига) сгруппирован с основными делянками, однако на самом деле это не так, поскольку одни и те же уровни фактора В используются во всех делянках. Модель для данного эксперимента имеет вид

Первые три переменных члена этой модели изображают целую делянку, а взаимодействие часто рассматривается как ошибка целой делянки. Обычно допускается, что это взаимодействие отсутствует и что в действительности данный член является ошибкой внутри основной делянки. Последние четыре члена модели представляют расщепленную делянку, а взаимодействие рассматривается как ошибка расщепленной делянки. Иногда полагают, что член также отсутствует и совместно с членом образует член, характеризующий ошибку. Отдельный член, характеризующий ошибку, можно получить в случае, когда оказывается возможным повторить некоторые наблюдения внутри расщепленной делянки. Соответствующие математические ожидания средних квадратов можно найти, рассматривая повторных измерений, где (см. табл. 13.4).

Поскольку в данном эксперименте нельзя выделить средний квадрат ошибки, принимается за ошибку расщепленной делянки, за ошибку целой делянки. Основные эффекты и представляющее интерес взаимодействие можно проверить, что видно из столбца «Математическое ожидание средних квадратов», хотя ни для эффекта реплики, ни для взаимодействий реплики с другими факторами нет возможности построить точные критерии. Этот недостаток рассматриваемого плана не является существенным, поскольку критерии для проверки эффектов реплик не представляют интереса и рассматриваются отдельно лишь с целью

Таблица 13.4 (см. скан) Математические ожидания средних квадратов для эксперимента с расщепленными делянками по определению срока службы элементов электрической цепи


уменьшения дисперсии ошибки. Анализ данных, приведенных в табл. 13.3, производится методами, изложенными в гл. 6. Результаты показаны в табл. 13.5.

Проверка гипотезы об отсутствии эффекта температуры дает

(результат является значимым при уровне значимости 1%).

Для проверки эффекта длительности обжига имеем

(результат не является значимым).

Проверка взаимодействия дает

Таблица 13.5 (см. скан) Схема дисперсионного анализа эксперимента с расщепленными делянками по определению срока службы элементов электрической цепи


(результат не является значимым при уровне значимости 5%).

Точные критерии для проверки эффекта реплики или взаимодействия реплики с другими факторами построить нельзя, однако эти эффекты рассматриваются лишь для уменьшения ошибки при проведении эксперимента с расщепленными делянками.

Результаты анализа эксперимента с расщепленными делянками незначительно отличаются от результатов, полученных при некорректном методе (табл. 13.2), однако план с расщепленными делянками указывает на необходимость тщательного рассмотрения метода рандомизации до начала эксперимента. План с расщепленными делянками отражает наличие ограничения на рандомизацию в отличие от полной рандомизации факторного эксперимента.

Поскольку планирование такого рода часто встречается при проведении производственных экспериментов, рассмотрим еще один пример.

Пример 13.2. Организация, связанная с разработкой оборонной техники, должна исследовать величину силы сталкивания, необходимой для отделения коробок от ленты, с которой они сцеплены. Эти коробки сделаны из картона, имеют приблизительные размеры дюйм и помещены на полоску ткани с липкой подкладкой. Ширина этой ленты около 2 дюймов, и коробки располагаются на ленте таким образом, что расстояние между их центрами составляет около 7 дюймов. На каждой ленте устанавливается 75 коробок.

Когда лента наматывается на барабан, она поворачивается относительно коробки на 90°. В процессе отделения коробки часть ленты, все еще соединенная с коробкой, переносит ее на подставку. Коробка нажимает на микропереключатель, который приводит в движение плунжер. Затем плунжер сбрасывает коробку со станка.

После того как эта задача была рассмотрена инженерами завода, было названо несколько факторов, которые могут оказать влияние на силу сталкивания. Наиболее важными факторами являются температура и влажность. Было решено использовать три фиксированных уровня температуры: —55, 25 и 55° С и три уровня влажности: 50, 70 и 90%. Это дает девять комбинаций основных факторов. Поскольку сила, необходимая для сталкивания, может зависеть от выбранной ленты, было принято решение использовать в данном эксперименте пять различных лент, выбираемых случайным образом. Кроме того, могли иметь место различия в пределах ленты, поэтому для проверки выбирались случайным образом две различные коробки для каждой ленты.

Проверка в лабораторных условиях была выполнена путем сталкивания коробок рукой. Через заранее проделанное отверстие к ленте были присоединены пружинные весы, и лента протаскивалась в направлении, перпендикулярном коробке.

Рассматривая план этого эксперимента, по-видимому, лучше всего задавать климатические условия (комбинацию температуры и влажности) путем случайного выбора из комбинаций и затем проверять две коробки на каждой из пяти лент при сохранении данной комбинации условий из числа выбранных. После этого

задается еще одно из этих девяти условий, и снова определяются результаты для двух коробок на каждой из пяти лент. В данном случае имеет место ограничение на рандомизацию, и в результате получаем эксперимент с расщепленными делянками. Было решено повторить полный эксперимент четыре раза. План этого эксперимента показан в табл. 13.6.

Таблица 13.6 (см. скан) План эксперимента с расщепленными делянками по определению силы, необходимой для сталкивания коробок с ленты

В табл. 13.6 каждая реплика является повторением 1-й реплики, однако в каждой реплике берется новый порядок рандомизации девяти атмосферных условий. При таком планировании эксперимента атмосферные условия и реплики образуют целую делянку, а ленты находятся в расщепленной делянке. Модель для этого плана и соответствующие соотношения для математических ожиданий средних квадратов приводятся в табл. 13.7.

С помощью математических ожиданий средних квадратов можно проверить эффект реплик, эффекты

Таблица 13.7 (см. скан) Математические ожидания средних квадратов для эксперимента по определению силы сталкивания


взаимодействий (реплика)X(температура), (реплика)X X (влажность), (реплика) X (температура) X (влажность), эффект ленты и эффекты взаимодействий ленты

со всеми остальными факторами. К сожалению, невоз можно построить точные критерии для проверки эффектов наиболее важных факторов: температуры, влажности и взаимодействия (температура) X (влажность). Разумеется, вначале можно проверить те гипотезы, проверка которых возможна, и если некоторые из них не окажутся значимыми при достаточно высоком уровне значимости (например, 25%), полагаем, что эти эффекты не существуют, а затем исключаем эти члены из столбца «Математическое ожидание средних квадратов». Если, например, взаимодействие можно положить равным нулю то средний квадрат, связанный с дисперсией, характеризующей ошибку температуры, можно сопоставить со средним квадратом взаимодействия с 2 и 8 степенями свободы соответственно. Если же взаимодействие можно принять равным нулю то средний квадрат, связанный с дисперсией, характеризующей ошибку температуры, можно проверить по отношению к среднему квадрату взаимодействия с 2 и 6 степенями свободы. Когда же ни одно из этих допущений не выполняется, для проверки средних квадратов можно использовать специальный метод, рассматриваемый в следующем разделе.

К сожалению, мы располагаем данными лишь для первой реплики этого эксперимента, поэтому нельзя дать его полный анализ. Метод анализа является таким же, что и изложенный в гл. 6, несмотря на то что данный эксперимент является довольно сложным. Он приведен здесь лишь для иллюстрации еще одного реального примера плана с расщепленными делянками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление