Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Сводка результатов

I. Эксперимент

A. Постановка задачи.

Б. Выбор отклика, или зависимой переменной.

B. Выбор варьируемых факторов.

Г. Выбор уровней для этих факторов.

1. Количественные или качественные.

2. Фиксированные или случайные.

Д. Подбор сочетаний уровней факторов.

II. Планирование

A. Необходимое число наблюдений.

Б. Порядок проведения эксперимента.

B. Используемый метод рандомизации.

Г. Математическая модель для описания эксперимента,

III. Анализ

A. Сбор и обработка данных.

Б. Вычисление статистик для проверки гипотез.

B. Интерпретация результатов для экспериментатора.

Пример 1.1. Этот пример [12] приведен для иллюстрации этапов планирования эксперимента. Здесь не предполагается, что читатель хорошо знаком с принципами планирования и методами анализа этой проблемы. Эта книга посвящена обсуждению различных принципов планирования и методов анализа, включая те, которые будут использованы в данном примере.

Рассмотрим эксперимент, который планировался для изучения влияния нескольких факторов на затраты мощности при резании металла керамическим инструментом. Металл резали на токарном станке и записывали или вертикальную составляющую показаний динамометра. Поскольку эта составляющая пропорциональна затратам мощности при резании, измеренным в лошадиных силах, ее приняли за измеряемую переменную. Составляющая у измеряется по отклонению на записывающем приборе в миллиметрах. Некоторыми из факторов, влияющих на отклонение, являются тип инструмента, угол наклона фаски резца, тип резания, глубина резания, скорость подачи материала и скорость вращения вала. После долгого обсуждения было решено поддерживать постоянными глубину резания 0,25 см, скорость подачи материала и скорость вращения вала 1000 об/мин. Эти значения соответствовали типичным условиям работы. Главной целью этого исследования было определение влияния остальных трех факторов (тип инструмента, скос фаски и тип резания) на затраты мощности. Поскольку в распоряжении были керамические инструменты лишь двух типов, этот фактор рассматривался при двух уровнях. Для скоса также были приняты два уровня (15 и 30°), соответствующие предельным значениям нормальных условий обработки. Резание было либо непрерывным, либо с прерыванием — снова два уровня.

Таким образом, для каждого из трех факторов имеем два фиксированных уровня, или восемь условий

проведения эксперимента (23). Гакой эксперимент называется факторным экспериментом типа 23, так как два уровня каждого из трех факторов комбинируются с двумя уровнями остальных факторов. Два фактора (тип инструмента и тип резания) являются качественными факторами, а скос фаски представляет собой количественный фактор (15 и 30°).

При планировании этого эксперимента необходимо выяснить, сколько раз проводить опыты при каждом из восьми экспериментальных условий.

Фиг. 1.1. Схема экспериментальных условий в задаче по изучению затрат мощности.

После предварительного обсуждения предполагаемой изменчивости при этих восьми условиях и затрат в случае неправильных решений было решено брать по четыре наблюдения при каждом из этих восьми условий, что в сумме дает 32 наблюдения.

Чтобы полностью рандомизировать порядок получения этих 32 Показаний, экспериментатор принял решение определить порядок проведения опытов путем подбрасывания трех монет. Монета достоинством 1 цент соответствовала типу инструмента (Г): герб — первый тип, решетка — второй; монета достоинством 5 центов соответствовала скосу (?): герб — 30°, решетка монета достоинством 10 центов представляла способ резания (С): герб — прерывистый, решетка—непрерывный. Таким образом, если при первом бросании монет выпадала последовательность «решетка — герб — решетка» то использовался инструмент второго типа,

скос 30° и непрерывный способ резания. На фиг. 1.1 представлены все 32 сочетания факторов. Цифры 1, 2, 3, 4, 5 указывают те комбинации факторов, которые соответствуют первым пяти опытам при условии, что при пяти бросаниях были получены сочетания

Здесь нужно заметить, что одно и то же сочетание условий может повториться (как, например, в опытах 3 и 4) прежде, чем все восемь сочетаний появятся по одному разу. Единственное ограничение на полную рандомизацию в этом случае состоит в том, что если какое-либо сочетание факторов появилось четыре раза, то в дальнейшем оно исключается.

Бросание монет продолжается до тех пор, пока не будут проведены все 32 опыта. Таким образом, достигается полная рандомизация факторного эксперимента типа 23 с четырьмя наблюдениями каждого состояния. Полная рандомизация обеспечивает усреднение всех эффектов, которые могут быть связаны с временем проведения эксперимента. Если бы скорость вращения вала менялась и во время эксперимента сначала испытывались все инструменты типа 1 и только затем инструменты типа 2, то этот посторонний эффект изменения скорости можно было бы принять за различие между типами инструментов, если бы в начале эксперимента скорость была больше, а к концу эксперимента уменьшилась.

Математическую модель для этого эксперимента и данного плана можно представить как

где измеряемая величина, общий эффект во всех наблюдениях (истинное среднее совокупности, из которой получена выборка), Г соответствует эффекту типа инструмента представляет эффект скоса соответствует эффекту типа резания случайная ошибка в эксперименте . Остальные члены соответствуют взаимодействию основных факторов

Анализ данного эксперимента состоит в том, чтобы сделать выводы по 32 показаниям, полученным при условиях, указанных на фиг. 1.1, при полной рандомизации. Результаты представлены в табл. 1.1 (отклонения даны в миллиметрах).

Таблица 1.1. Результаты испытаний при изучении затрат мощности

Данный эксперимент и математическая модель предполагают использование трехфакторного дисперсионного анализа, результаты которого приведены в табл. 1.2.

При проверке гипотез о том, что эффекты типа инструмента, скоса фаски, способа резания, а также эффекты взаимодействия этих факторов отсутствуют, все наблюденные средние квадраты должны быть сопоставлены со средним квадратом ошибки, равным 2,23 с 24 степенями свободы (приложение, табл. Г). Подходящей статистикой для проверки гипотез будет F-статистика с 1 и 24 степенями свободы. Для -ного уровня значимости критическая область Сравнение каждого среднего квадрата со средним квадратом ошибки показывает, что можно отвергнуть лишь две гипотезы: скос фаски и тип резания не влияют на отклонение. Ни одну из остальных гипотез отвергнуть нельзя.

(кликните для просмотра скана)

Следовательно, только угол наклона и тип резания влияют на затраты мощности, измеренные через составляющую -отклонения динамометра.

- Оказалось, что тип инструмента оказывает незначительное воздействие на -отклонение, а все взаимодействия факторов пренебрежимо малы. Вычисления по исходным данным табл. 1.1 дают средние -отклонения, приведенные в табл. 1.3.

Фиг. 1.2. Взаимодействие в примере по изучению затрат мощности.

Эти средние значения, по-видимому, подтверждают вывод о том, что угол наклона влияет на -отклонение; для угла 30° требуется большая мощность, чем для угла 15° (заметим, что разница в средних -отклонениях составляет Среднее отклонение для непрерывного типа резания на больше среднего отклонения для прерывистого резания. Разность между средними, соответствующими разным типам инструмента, не является статистически значимой (при -ном уровне значимости). Из фиг. 1.2 видно, что взаимодействия факторов не являются значимыми.

Нетрудно заметить, что -отклонение возрастает с увеличением скоса фаски. Тот факт, что линия (непрерывный тип резания) лежит выше линии (прерывистый тип резания), показывает, что для непрерывного типа резания нужна большая мощность. То обстоятельство, что эти линии почти параллельны, характеризует

отсутствие взаимодействия между этими факторами. Легко показать также, что при увеличении скоса фаски среднее -отклонение возрастает независимо от типа резания. Это еще раз указывает на отсутствие взаимодействия факторов.

Выше был рассмотрен трехфакторный эксперимент с двумя уровнями для каждого фактора. План полностью рандомизирован и применялся трехфакторный дисперсионный анализ с четырьмя наблюдениями для каждого условия. По результатам эксперимента не только обнаружены факторы, влияющие на затраты мощности (скос фаски и тип резания), но и установлено, что в интервале изменения факторов безразлично, какой из типов инструмента применять и что между этими тремя факторами нет статистически значимых взаимодействий.

Это далеко не единственный пример, иллюстрирующий три этапа эксперимента: постановку задачи, планирование и анализ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление