Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14.4. Смешивание с межблоковым эффектом без повторения эксперимента

Во многих случаях экспериментатор не имеет возможности многократно повторять эксперимент и, кроме того, он бывает ограничен тем, что не может провести полный факторный эксперимент в одном блоке или за один раз. Здесь эксперимент также можно разбить на блоки и получить информацию относительно всех взаимодействий, кроме некоторых взаимодействий высшего порядка, которые могут смешиваться. Рассмотрим планы таких экспериментов для частных случаев факторных экспериментов типа поскольку они часто встречаются на практике.

Смешивание в факторных экспериментах типа 2^n

Методы, изложенные в начале этой главы, могут использоваться для определения состава блоков при определенной схеме смешивания. Если возможна только одна реплика, то эксперимент проводится лишь один раз, и некоторые члены, выражающие взаимодействия высших порядков, должны использоваться как экспериментальная ошибка, если нет какого-либо независимого показателя ошибки, полученного из предыдущих данных План такого типа используется главным образом в тех

случаях, когда рассматривается несколько факторов (например, четыре или более); некоторые взаимодействия высоких порядков могут смешиваться с межблоковым эффектом, а другие остаются для оценки ошибок. Рассмотрим, например, факторный эксперимент типа 24, в котором за один раз можно выполнить опыты лишь с восемью комбинациями условий. Одной из возможных схем смешивания может быть следующая:

и схема анализа будет аналогична приведенной в табл. 14.4. Объединяя тройные взаимодействия, в данном случае можно получить для ошибки 4 степени свободы, полагая, что в действительности эти взаимодействия не существуют. Тогда все основные эффекты и парные взаимодействия можно будет проверять с помощью критериев с 1 и 4 степенями свободы.

Таблица 14.4 Факторный эксперимент типа 24, разбитый на два блока

После исследования результатов оказывается возможным объединить некоторые парные взаимодействия, имеющие небольшие значения средних квадратов, с тройными взаимодействиями, если для члена, характеризующего ошибку, желательно иметь большее число степеней свободы.

Если в один блок могут входить лишь четыре комбинации условий, то факторный эксперимент типа 24 можно разбить на четыре блока по четыре комбинации условий в каждом. При разбиении эксперимента на четыре блока с межблоковым эффектом должны быть связаны 3 степени свободы. В случаях, когда смешиваются два взаимодействия, произведение их (по модулю 2) также смешивается, так как произведение знаков двух эффектов дает знак произведения. Так, если смешиваются взаимодействия и то смешивается также и взаимодействие При данной схеме будут смешиваться два взаимодействия первого порядка и одно взаимодействие третьего порядка. Может оказаться, что лучше смешивать два взаимодействия второго порядка и одно взаимодействие первого порядка:

Заметим, что в данном случае (модуль 2). Следовательно, с блоками связываются три степени свободы. Прежде чем переходить к составлению блоков, рассмотрим задачу, когда каждый из четырех факторов устанавливается на одном из двух уровней и за один день можно провести лишь опыты с четырьмя комбинациями условий. Измеряемой переменной является выход продукта. Приведенная выше схема смешивания дает два независимых уравнения

Каждой комбинации условий соответствует одна из следующих четырех пар значений полученных путем подстановки в комбинаций и 11.

Например,

Все комбинации условий с одинаковыми значениями будут помещены в один блок. Таким образом, все 16 комбинаций условий будут распределены по четырем блокам, как показано в табл. 14.5.

Таблица 14.5 Данные для факторного эксперимента, разбитого на четыре блока по четыре комбинации условий в каждом

В табл. 14.5 порядок проведения эксперимента в пределах каждого блока рандомизирован; здесь приводятся результаты, полученные для каждой комбинации условий. Соответствующие комбинации условий для каждого блока можно образовать с помощью основного блока. Если взаимодействия находятся в основном блоке, то и их произведение

также находится в основном блоке. Для образования другого блока умножим а на все элементы основного блока

Аналогично можно образовать другие два блока. Это означает, что с помощью значений должны определяться лишь несколько элементов основного блока, а всю остальную часть плана можно образовать с помощью этих немногих комбинаций условий. Имеются также таблицы для планов, в которых смешиваются определенные эффекты [5].

Данный эксперимент является факторным экспериментом типа 24, проводимым по рандомизированному неполноблочному плану, когда взаимодействия и смешиваются с межблоковым эффектом. Для анализа эксперимента можно использовать метод Йетса, рассмотренный в гл. 7 (см. табл. 14.6).

Таблица 14.6 (см. скан) Анализ факторного эксперимента типа методом Йетса

В табл. 14.6 сумма квадратов последнего столбца соответствует эффекту комбинаций условий, записанным слева, т. е.

Заметим, что эффекты и смешиваются с межблоковым эффектом. Их общая сумма квадратов составляет Рассматривая блоки, приведенные в табл. 14.5, получаем следующие суммы:

а сумма квадратов для межблокового эффекта равна

что совпадает с суммой квадратов для трех взаимодействий, с которыми смешивается межблоковый эффект. Если все взаимодействия трех и четырех факторов, которые не смешиваются, объединяют, чтобы получить ошибку, то анализ этого эксперимента будет таким, как показано в табл. 14.7. Ни один из четырех основных эффектов с одной степенью свободы и ни одно из пяти парных взаимодействий с тремя степенями свободы нельзя объявить значимыми при -ном уровне значимости. Поскольку эффект В и взаимодействие не являются значимыми даже при -ном уровне значимости, может оказаться желательным объединить их с ошибкой, чтобы увеличить число степеней свободы ошибки. В этом случае получаем сумму квадратов ошибки

с числом степеней свободы, равным 5. Тогда средний квадрат ошибки составит При использовании этого среднего квадрата ошибки эффекты оказываются значимыми при 5%-ном уровне значимости. Можно заключить, что эффект фактора А является существенным, эффект фактора В отсутствует и что может

Таблица 14.7 (см. скан) Схема дисперсионного анализа факторного эксперимента типа 24 с разбиением на четыре блока


иметь место эффект взаимодействия Поскольку факторные эксперименты типа часто проводятся для того, чтобы получить полную картину влияния значимых факторов, каждый из которых устанавливается при крайних значениях, то теперь можно запланировать другой эксперимент — без фактора В, так как в рассматриваемой здесь области изменения его влияние пренебрежимо мало. Последующий эксперимент может включать факторы возможно, с тремя уровнями каждый, т. е. получаем факторный эксперимент типа Может потребоваться разбить этот эксперимент на блоки.

Смешивание в факторных экспериментах типа 3^n

Если факторный эксперимент типа нельзя рандомизировать полностью, то он обычно разбивается на блоки, число которых кратно трем. Использование

компонент взаимодействия введенных в разд. 9.2, целесообразно при смешивании лишь части взаимодействий с межблоковым эффектом. При использовании таких взаимодействий, как и комбинаций условий в виде и 11 вместо как в случае факторного эксперимента типа правило Кемпторна также применимо. В данном случае комбинации условий могут перемножаться, что фактически равносильно сложению показателей (по модулю 3).

Если на факторный эксперимент типа налагается ограничение таким образом, что в один блок могут входить лишь три комбинации условий, то обычно смешиваются взаимодействия или поскольку каждое из них имеет 2 степени свободы. Определяющим контрастом может быть взаимодействие дающее

Затем для каждой из девяти комбинаций условий получаем

Помещая комбинации условий с одинаковыми значениями в общий блок, имеем

Блок 1, содержащий комбинацию 00, является основным. Блок 2 образован путем сложения одной из комбинаций условий этого блока со всеми комбинациями условий блока 1

Аналогично для блока 3

Поскольку имеются три блока, должен смешиваться эффект с двумя степенями свободы. Здесь смешивается взаимодействие с межблоковым эффектом. Если смешивается взаимодействие с двумя степенями свободы, то и блоки имеют вид:

Если в качестве примера используются данные, приведенные в табл. 9.1, и смешивается взаимодействие то получаем следующий результат:

Сумма квадратов для межблокового эффекта определяется из трех блоковых сумм, равных 7, 1 и 2:

и совпадает с суммой квадратов для взаимодействия вычисленной в разд. 9.2 (табл. 9.6), что и следовало ожидать. Остальная часть анализа проводится так же, как и в разд. 9.2. Полученная схема дисперсионного анализа приведена в табл. 14.8.

Таблица 14.8 Дисперсионный анализ для факторного эксперимента типа

Если бы результаты рассматриваемого эксперимента были реальными, а не условными, то взаимодействие можно было бы интерпретировать как ошибку, однако в этом случае ни один основной эффект не является значимым. Здесь преследуется цель лишь проиллюстрировать разбиение факторного эксперимента типа на блоки.

Рассмотрим теперь эксперимент типа в котором все 27 комбинаций условий (например, таких, как в табл. 9.7) нельзя рандомизировать полностью. Если можно рандомизировать девять опытов и провести их за один день, другие девять опытов за другой день и т. д., то можно использовать факторный эксперимент типа разбитый на три блока по девять комбинаций условий в каждом. Для этого требуется, чтобы с межблоковым эффектом смешивался эффект с двумя степенями свободы. Поскольку взаимодействие с восемью степенями свободы можно разбить на взаимодействия каждое из которых с двумя степенями свободы, одно из этих четырех взаимодействий может смешиваться с межблоковым эффектом. Если смешивается взаимодействие то

и блоки имеют вид

Схема анализа данных для этого плана приводится в табл. 14.9.

Таблица 14.9 Факторный эксперимент типа разбитый на три блока

Этот план является полезным, поскольку мы можем сохранить все основные эффекты (А, В и С) и все

парные взаимодействия, если использовать взаимодействие с 6 степенями свободы в качестве ошибки эксперимента. Определение сумм квадратов и т. д. производится точно так же, как и для полного факторного эксперимента типа рассмотренного в примере 9.1. При смешивании других компонент взаимодействия получим, разумеется, другие распределения комбинаций условий по блокам, хотя схема анализа останется такой же. На практике при различном распределении комбинаций условий по блокам можно получить различные результаты.

Более сложные схемы смешивания приведены в специальных таблицах, например в гл. 9 книги Дэйвиса [5].

В качестве примера рассмотрим смешивание эффектов в факторном эксперименте типа разбитом на девять блоков по три комбинации условий в каждом. Здесь с межблоковым эффектом должен смешиваться эффект с восемью степенями свободы. Одной из схем смешивания может быть

Заметим, что

и

Не все эти взаимодействия независимы. В действительности независимы лишь два из них. По этой причине нам потребуются лишь два выражения для значений

которые дадут девять пар чисел — по одной паре для каждого блока. Найдем вначале основной блок, когда оба значения равны нулю. Одной из комбинаций условий, очевидно, является а другой — 211, так как

Третьей комбинацией будет 122, так как

Остальные восемь блоков можно образовать теперь с помощью основного блока.

Схема анализа приводится в табл. 14.10.

Таблица 14.10 (см. скан) Факторный эксперимент типа разбитый на девять блоков

Этот план может оказаться приемлемым, если главное внимание уделяется лишь основным эффектам Такой план может оказаться необходимым, когда рассматриваются три фактора, каждый из которых устанавливается на трех уровнях, если за один день можно провести лишь опыты с тремя комбинациями условий. Эти три опыта могут представлять собой сложные испытания на воздействие внешней среды, когда в лучшем случае за один день можно промоделировать лишь три группы физических условий окружающей среды — температуру, давление и влажность.

14.5. Сводка результатов

Теперь можно продолжить сводку результатов, приведенную в гл. 13.

(см. скан)

(см. скан)

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление