Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.3. Дробные реплики

Факторные эксперименты типа 2^n

В качестве примера рассмотрим задачу, упоминавшуюся во введении к данной главе. Экспериментатор желает исследовать влияние семи факторов, устанавливаемых на двух уровнях, однако он не в состоянии провести все 128 опытов, а имеет возможность выполнить лишь 64 опыта, т. е. одну полуреплику факторного эксперимента типа 27. Приняв решение смешать взаимодействие самого высокого порядка с межблоковым эффектом, экспериментатор имеет

Оба блока находятся путем помещения (1) и всех комбинаций с четным числом символов (два, четыре и шесть) в один блок, а всех комбинаций с нечетным числом символов (один, три, пять и семь) в другой блок. Выбор одного из этих двух блоков производится случайным образом. Перед проведением эксперимента необходимо проверить наличие совместных эффектов. С помощью определяющего контраста

находится совместный эффект для Аналогично для всех основных эффектов совместными являются эффекты взаимодействий пятого порядка.

Для совместным эффектом является взаимодействие т. е. взаимодействие четвертого порядка. Таким образом, для всех взаимодействий первого порядка совместными эффектами являются взаимодействия четвертого порядка. Для взаимодействия второго порядка совместным эффектом является взаимодействие третьего порядка

Если взаимодействия второго и третьего порядков берутся в качестве оценок для ошибки, то схему анализа можно представить в виде табл. 15.4.

Таблица 15.4 (см. скан) Полуреплика факторного эксперимента типа

Этот план весьма полезен с практической точки зрения, поскольку имеются хорошие критерии для всех основных эффектов и всех взаимодействий первого порядка, при допущении, что все взаимодействия более высоких порядков равны нулю. Число степеней свободы для каждого критерия равно 1 и 35. Если по некоторым соображениям экспериментатор подозревает наличие влияния некоторых взаимодействий второго порядка, то он может не включать их в оценку ошибки и все-таки иметь число степеней свободы, достаточное для оценки ошибок. Анализ такого эксперимента выполняется методами, изложенными в гл. 7.

Если на этот эксперимент налагаются дополнительные ограничения и имеется возможность провести лишь 32 опыта, то экспериментатор может осуществить четвертьреплику факторного эксперимента типа 27. В этом случае с межблоковым эффектом должен смешиваться эффект с тремя степенями свободы. Если с межблоковым эффектом смешиваются взаимодействия четвертого

порядка, то автоматически смешиваются также и взаимодействия третьего порядка, поскольку определяющий контраст

смешивает три степени свободы с четырьмя блоками. Если при таком планировании проводятся лишь 32 опыта одного блока, то каждому эффекту соответствуют три других совместных эффекта

Этот перечень совместных эффектов довольно внушите лен. Однако когда выполняются лишь 32 опыта одного блока, внутри блока имеется 31 степень свободы. Приведенный список объясняет, как использовать эти степени свободы. Если при таком планировании эксперимента можно пренебречь всеми взаимодействиями второго порядка (тройными) и взаимодействиями более высоких порядков, то все основные эффекты свободны от взаимодействий первого порядка. Три взаимодействия первого порядка и совпадают с тремя другими взаимодействиями первого порядка и Если выбор факторов можно произвести

с уверенностью, что указанными взаимодействиями можно пренебречь, ибо они не представляют значительного интереса и их можно не проверять, то эти три степени можно либо объединить с ошибкой, либо исключить из анализа. Оставшиеся 15 взаимодействий первого порядка не смешаны с другими взаимодействиями, за исключением взаимодействий второго и более высоких порядков. Имеется еще 6 степеней свободы для ошибки, включающей лишь взаимодействия второго и более высоких порядков. Схема анализа может быть аналогична показанной в табл. 15.5.

Таблица 15.5 Четвертьреплика факторного эксперимента типа

В данном случае для проверки можно взять критерии с 1 и 6 или 1 и 9 степенями свободы, если последние две строки можно объединить как ошибку. Этот план целесообразно использовать в тех случаях, когда необходимо выполнить лишь четвертьреплику факторного эксперимента типа 27.

Факторные эксперименты типа 3^n

Простейшим факторным экспериментом типа является эксперимент типа в котором полная реплика состоит из девяти опытов. Если проводится лишь часть этих опытов, то можно рассматривать третьреплику

факторного эксперимента типа Вначале смешиваем взаимодействие либо с тремя блоками. Смешивая получаем

и эти три блока имеют вид

Если реализуется один из этих трех блоков, то

так как показатель степени первого символа никогда не бывает выше единицы. При возведении в квадрат получаем (модуль 3). С другой стороны, эффектом, совместным с В, является

Таким образом, все три эффекта являются совместными и смешиваются друг с другом. Чтобы получить оба совместных эффекта при одном умножении, используя определяющий контраст, умножаем эффект на квадрат как на определяющий контраст. В результате получаем

Следовательно, Данный эксперимент является неудовлетворительным, поскольку в блоке, который реализуется, смешиваются эффекты с двумя степенями свободы каждый. Кроме того, для ошибки не остается степеней свободы. Этот пример приводится лишь для того, чтобы показать, что определение совместных эффектов факторного эксперимента типа проводимого как дробная реплика, осуществляется несколько иным образом. Ценность этих дробных реплик обнаруживается, когда включается большее число факторов.

Рассмотрим факторный эксперимент типа с разбиением на три блока по девять комбинаций условий в каждом. Можно выделить 13 эффектов с двумя степенями свободы каждый: Смешивая взаимодействие с тремя блоками, получаем

Блоки имеют вид

Если теперь реализуется лишь один из этих блоков, то совместными эффектами являются

Схема анализа показана в табл. 15.6.

Этот план может оказаться вполне приемлемым с практической точки зрения, если всеми взаимодействиями можно пренебречь и для оценки ошибки достаточно иметь две степени свободы.

Эти методы легко распространить на случай экспериментов типа более высокого порядка. Анализ производится, как в гл. 9.

Может оказаться целесообразным исследовать несколько подробнее план третьреплики эксперимента типа Схема проведения эксперимента типа как полного факторного эксперимента дается в табл. 9.7.

Таблица 15.6 Третьреплика факторного эксперимента типа

Если проводится лишь одна треть данного эксперимента, например только блок то предполагаем, что все остальные элементы табл. 9.7 вычеркиваются. Полученные результаты приведены в табл. 15.7.

Таблица 15.7 Третьреплика факторного эксперимента типа

Оставшиеся невычеркнутыми девять элементов табл. 15.7 можно объединить теперь по уровням фактора С (табл. 15.8). Из табл. 15.8 видно, что этот план является не чем иным, как латинским квадратом. В некотором смысле при рассмотрении планов мы прошли

Таблица 15.8 Третьреплика факторного эксперимента типа выраженная через фактор С

теперь полный круг — от латинского квадрата при двух ограничениях на рандомизацию однофакторного эксперимента (гл. 5) до латинского квадрата как третьреплики факторного эксперимента типа Планы оказываются одинаковыми, однако они получены совершенно различными путями. Общая модель однофакторного эксперимента

разбивается за счет уточнения члена ошибки, обусловленной ограничениями, налагаемыми на рандомизацию,

где межблоковый эффект и эффект положения берутся из исходного члена ошибки

В третьреплике эксперимента типа имеются три представляющих интерес фактора, задающих условия испытаний; модель принимает вид

где берутся из эффекта условий испытаний. Обе модели имеют одинаковый вид, однако они получены из экспериментов различного типа. В обоих случаях делается допущение, что взаимодействия между факторами отсутствуют. Это в большей степени приемлемо, когда факторы представляют собой лишь ограничения на рандомизацию, как, например, межблоковый

эффект или эффект положения, а не в тех случаях, когда каждый из трех факторов имеет важное значение для экспериментатора.

Выбирая для смешивания с взаимодействием каждый из двух остальных блоков или получаем два других латинских квадрата. Если выбирается другая схема смешивания, например с взаимодействиями или могут быть образованы и другие латинские квадраты. Действительно, при схеме смешивания, включающей четыре тройных взаимодействия и три блока, можно получить 12 различных латинских квадратов. Это показывает, каким образом можно произвести случайный выбор латинского квадрата для определенного плана.

Следует еще раз подчеркнуть, что прежде чем использовать эти планы для экспериментов типа необходимо быть полностью уверенным в отсутствии взаимодействий. Недостаточно сказать, что взаимодействия не представляют интереса, поскольку, к сожалению, взаимодействия смешиваются самым неблагоприятным образом с основными эффектами, образуя совместные оценки.

15.4. Сводка результатов

Продолжая приведенную в конце гл. 14 сводку результатов для неполноблочного рандомизированного плана, получаем

(см. скан)

(см. скан)

Задачи

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление