Глава 16. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ

16.1. Введение

Разработано несколько способов планирования экспериментов на основе общих принципов, изложенных в первых 15 главах этой книги, и других известных статистических методах.

Два из них весьма полезны при экспериментальной работе, и о них уже кратко упоминалось. Мы не будем пытаться рассматривать их подробно, поскольку они достаточно хорошо изложены в литературе. Предполагается, что, изучив основы планирования эксперимента, изложенные в первых 15 главах, экспериментатор сможет прочесть и понять эти работы.

Здесь будут рассмотрены следующие два метода: планирование для изучения поверхности отклика и эволюционное планирование.

16.2. Планирование для изучения поверхности отклика

Общие положения

Понятие поверхности отклика включает зависимую переменную У, называемую переменной отклика, и несколько независимых или регулируемых переменных Если допускается, что все эти переменные измеримы, то поверхность отклика можно выразить как

В случае двух независимых случайных величин, например температуры и времени выход продукции У, получаемой в результате химического процесса, можно записать в виде

Эту поверхность можно вычертить в трехмерном пространстве, где абсцисса, ордината, аппликата. Если соединить точки дающие одинаковые значения У, то можно изобразить поверхность с помощью нескольких линий равного выхода, или контуров.

Фиг. 16.1. Проекции некоторых типичных поверхностей отклика на плоскость. а — холм; б - впадина; в — повышающийся гребень; г - седловина.

Эти контуры аналогичны контурам равных высот топографических карт и контурам изобар на метеорологических картах. Некоторые поверхности отклика могут быть аналогичны изображенным на фиг. 16.1. Планирование для изучения поверхности отклика хорошо описано в работах [5] и [9].

Две постановки задачи

Задачи, связанные с планированием для изучения поверхности отклика, могут быть сформулированы следующим образом: 1) на основе одного эксперимента

определить направление движения к оптимальной точке, расположенной на поверхности отклика, 2) определив местонахождение оптимума или точки, близкой к оптимальной, найти уравнение поверхности отклика в окрестности этой оптимальной точки.

Одним из методов планирования, при котором отыскивается оптимальная точка поверхности отклика, может быть традиционный метод одновременного исследования лишь одного фактора. Если, как показано на фиг. 16.1, а, значение переменной фиксировано, а переменная меняется, то мы находим оптимальное (или близкое к оптимальному) значение отклика при фиксированном значении Найдя значение переменной можно провести эксперимент при этом фиксированном значении и найти значение для оптимального отклика. В случае холма, изображенного на фиг. 16.1, а, при использовании этого метода в конечном счете будет достигнута его вершина или ближайшая к ней точка. Однако при использовании этого же метода в случае такой поверхности, как повышающийся гребень, изображенный на фиг. 16.1, б, мы не достигаем точки максимума на поверхности отклика. В процессе экспериментирования характер поверхности отклика обычно неизвестен, поэтому необходимо иметь хороший метод, позволяющий находить для любой поверхности оптимальный набор условий.

Метод, созданный учеными, работавшими в этой области, называется методом крутого восхождения по поверхности отклика. Идея метода состоит в том, чтобы провести простой эксперимент на небольшом участке поверхности отклика, который для любых практических целей можно рассматривать как плоскость. Затем определяется уравнение этой плоскости, а из него — направление, по которому следует двигаться к точке оптимума на поверхности. Поскольку следующий эксперимент должен быть в направлении, в котором предполагается самое быстрое увеличение высоты, это направление называется линией крутого восхождения. Этот метод не позволяет определить, насколько далеко от исходной экспериментальной точки, предшествующей последующим экспериментальным точкам, нужно продвигаться, однако

он указывает экспериментатору направление, по которому следует двигаться к последующей экспериментальной точке. Этот метод будет проиллюстрирован на простом примере, рассматриваемом в следующем разделе.

Для получения уравнения поверхности отклика было разработано несколько специальных планов эксперимента, в которых сделана попытка аппроксимировать это уравнение, используя наименьшее возможное число экспериментов. В двумерной задаче простейшей поверхностью является плоскость, определяемая уравнением

где — наблюдаемый отклик, берется равным единице, а оценки для В должны определяться методом наименьших квадратов, минимизирующим сумму квадратов ошибок Такое уравнение называется уравнением первой степени, поскольку показатель степени каждой независимой переменной равен единице.

Если имеются какие-либо основания считать, что поверхность не является плоской, то наиболее подходящей моделью может быть уравнение второй степени с двумя неизвестными

Здесь член представляет взаимодействие между двумя переменными

Если имеются три независимые или регулируемые переменные, то уравнение первой степени и в этом случае описывает плоскость или гиперплоскость

а уравнение второй степени имеет вид

По мере усложнения поверхности должно оцениваться большее число коэффициентов, и число экспериментальных точек будет неизбежно возрастать.

Разработано несколько весьма искусных планов, минимизирующих объем работы, необходимой для оценки уравнений поверхности отклика.

Чтобы определить коэффициенты для этих более сложных поверхностей и интерпретировать их геометрический смысл, используются методы множественной регрессии и аналитической геометрии. В приведенном ниже примере будет рассматриваться лишь поверхность простейшего типа. В упоминавшихся ранее работах описывается значительное число более сложных задач.

Фиг. 16.2. Пример факторного эксперимента типа 22 на поверхности отклика.

Пример 16.1. Рассмотрим случай, когда экспериментатор имеет надлежащие значения как для концентрации наполнителя в эпоксидных смолах, так и для положения в пресс-форме с целью минимизировать истирание пластиковой матрицы. Истирание, или износ, измеряется как уменьшение толщины материала после истирания его в течение 10 тысяч циклов. Поскольку максимальная толщина известна, при первом эксперименте нужно попытаться найти направление, в котором следует проводить последующий эксперимент, чтобы приблизиться к максимуму самым крутым путем. Предполагая, что в малой области поверхность является плоскостью, первый эксперимент используется для определения уравнения этой плоскости. Тогда поверхность отклика будет описываться уравнением

Поскольку должны оцениваться три параметра: для оценки этих коэффициентов должны браться по крайней мере три точки. Таким планом может быть равносторонний треугольник, однако вследствие того, что

имеются два фактора и каждый из них может устанавливаться на двух уровнях, может использоваться факторный эксперимент типа 22. Были выбраны две концентрации: (отношение количества наполнителя к количеству смолы) и два положения — 1 и 2 дюйма от точки отсчета; откликом У является толщина материала, выраженная в дюйма (фиг. 16.2).

Чтобы определить уравнение плоскости, наилучшим образом соответствующей этим четырем точкам, рассмотрим ошибку уравнения, определяющего значение У,

Сумма квадратов для этой ошибки составляет

где суммирование проводится по всем точкам, заданным в плане. Чтобы найти коэффициенты В, продифференцируем это уравнение по каждому параметру и приравняем все эти три уравнения нулю. Получим три нормальных уравнения наименьших квадратов, решив которые можно найти наилучшие оценки параметров В. Обозначим эти оценки через

Дифференцируя это выражение, получаем

Отсюда находим нормальные уравнения наименьших квадратов

При надлежащем выборе переменных эксперимента Эти уравнения можно значительно упростить и получить

простое решение. Более сложные модели лучше всего решать методами матричной алгебры. Для факторного эксперимента типа следующая схема кодирования упрощает решение уравнения (16.5).

Полагаем:

где С — концентрация, положение. Значение всегда берется равным единице. Для переменных эксперимента отклики (результаты эксперимента) записаны в табл. 16.1. Схема эксперимента показана также на фиг. 16.2.

Таблица 16.1 Ортогональная схема для фиг. 16.2

Изучение данных, приведенных в табл. 16.1, показывает, что переменные взаимно ортогональны, поскольку

Таким образом, нормальные уравнения для наименьших квадратов имеют вид

Решая эти уравнения, получаем

Для нашей задачи

и поверхность отклика можно приближенно представить как

Чтобы определить сумму квадратов для каждого из этих членов модели, можно использовать результаты, полученные в разд. 3.6, где сумма квадратов, обусловленная равна

Здесь

Каждая сумма квадратов имеет одну степень свободы. Схема дисперсионного анализа показана в табл. 16.2.

Здесь использованы все 4 степени свободы, члену приписана одна степень свободы, обычно связываемая со средним, так как во многих случаях является корректирующим членом. Полная сумма квадратов равна а остаточная сумма квадратов задается разностью. В данном случае остаточная сумма квадратов с одной степенью свободы не позволяет построить критерий значимости для каждого члена модели, и нельзя заранее хорошо оценить соответствие линейной модели изучаемой поверхности.

Таблица 16.2 Дисперсионный анализ факторного эксперимента типа с восхождением по поверхности отклика

Чтобы выбрать направление на следующую экспериментальную точку, построим контуры равных откликов, используя найденное выше уравнение плоскости

Находим

Если

Построив эти пять контуров, получаем схему, изображенную на фиг. 16.3.

Фиг. 16.3. Контуры на примере факторного эксперимента типа на поверхности отклика.

Двигаясь в направлении, перпендикулярном этим контурам, «вверх» по поверхности, можно ожидать появления больших значений отклика, пока не будет достигнут максимум. Чтобы принять решение о возможном наборе условий для последующего эксперимента, рассмотрим уравнение нормали к этим контурам, проходящей через точку Уравнение контуров имеет вид

и их угловой коэффициент равен Нормаль будет иметь угловой коэффициент, равный —9/8, и уравнением нормали является

(см. стрелку на фиг. 16.3). Этот метод не показывает, на сколько нужно продвигаться в данном направлении, однако мы можем проводить следующий факторный

эксперимент с центром в точке Четыре точки будут иметь следующие координаты:

Эти точки выражаются через переменные эксперимента, однако их можно выразить и через значения концентрации и положения. После кодирования

получаем четыре новые точки

если эти варианты возможны. Теперь нужно брать отклики в этих четырех точках нового факторного эксперимента типа и после анализа снова выбрать направление

крутого восхождения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не достигается оптимум.

Указанный план позволяет определить направление последующих экспериментов, однако он не дает хорошей оценки для ошибки эксперимента, позволяющей проверить значимость оценок и, кроме того, здесь отсутствует какая-либо возможность проверить, насколько хорошо изучаемая поверхность аппроксимируется плоскостью.

Фиг. 16.4.

Одним из способов улучшения этого плана является выбор двух или большего числа точек в центре квадрата. Повторяя эксперимент в той же самой точке, получают оценку ошибки эксперимента, а среднее откликов центральной точки дает возможность проверить гипотезу об адекватности линейного приближения. Если эксперимент проводится в окрестности

максимального отклика, то выход продукта в центральной точке может быть несколько выше выхода в четырех окружающих ее точках, что указывает на необходимость использования более сложной модели.

Чтобы показать, в чем состоит ценность этого плана, рассмотрим два наблюдения отклика в центре предыдущего примера. При использовании одних и тех же откликов в вершинах квадрата можно получить результаты, показанные на фиг 16.4.

Оценки коэффициентов модели по-прежнему можно найти с помощью соотношений (16.7):

и

Сумма квадратов ошибки в точке (0,0) равна

Схема анализа показана в табл. 16.3.

Оценивая значимость этих эффектов, получаем

неадекватность модели

Таблица 16.3 Схема дисперсионного анализа факторного эксперимента типа с двумя центральными точками

При таком небольшом числе степеней свободы лишь оценка оказывается значимой при 5%-ном уровне значимости. Однако значения критериев F для проверки членов являются большими, чем критерий для проверки неадекватности модели, что указывает на то, что плоскость

является хорошим приближением поверхности, на которой проводился этот первый эксперимент.

Более сложные поверхности

При большем числе факторов (регулируемых переменных) модель для переменной отклика становится более сложной, однако было найдено несколько полезных планов для оценки коэффициентов этих поверхностей.

Когда рассматриваются три переменные величины, первым приближением снова является плоскость или гиперплоскость вида

Для этой поверхности первого порядка необходимо брать не менее четырех точек, чтобы получить оценки четырех коэффициентов В. Так как здесь

рассматриваются три измерения, можно использовать факторный эксперимент типа 23. Поскольку план такого эксперимента включает восемь комбинаций условий в своих вершинах, используемый план часто является полурепликой факторного эксперимента типа 23 с двумя или большим числом точек в центре. Этих шести точек (две из них находятся в центре плана) достаточно для оценки всех четырех коэффициентов В и проверки неадекватности аппроксимации плоскостью трехмерной поверхности. После этой исходной полуреплики факторного эксперимента типа 23 можно реализовать другую полуреплику, дающую дополнительную информацию для лучшей аппроксимации.

Если плоскость является плохим приближением двумерной поверхности, то можно испытать модель второго порядка. Такая поверхность отклика задается формулой

Здесь необходимо оценивать шесть коэффициентов В. Простейшим планом для такой модели может быть пятиугольник (пять точек) с центральными точками. Это дает шесть или большее число откликов, и все шесть коэффициентов В могут быть оценены.

При разработке таких планов Бокс и др. обнаружили, что вычисления можно упростить, если план является ротатабельным. Ротатабельным называется план, когда имеется одинаковая возможность предсказания во всех направлениях от центра. Все рассмотренные выше планы первого порядка являются ротатабельными,

например квадрат и полуреплика куба в предыдущих случаях. Простейшим ротатабельным планом второго порядка является упоминавшийся выше пятиугольник с точкой в центре.

В трехмерном случае поверхность второго порядка задается уравнением

имеющим 10 неизвестных коэффициентов. Куб как трехмерная модель имеет лишь восемь точек, поэтому был разработан специальный метод, называемый центральным композиционным планированием. Это план факторного эксперимента типа 23 с точками на каждой оси, удаленными от центра на расстояние, равное расстоянию от центра до вершины. Такой план дает точек, а сточкой, расположенной в центре, их число становится равным 15, что достаточно для оценки коэффициентов В уравнения (16.8). Этот план представлен на фиг. 16.5.

Фиг. 16.5. Центральный композиционный план.

При попытке определения уравнения поверхности отклика часто оказываются полезными некоторые понятия аналитической геометрии. Если двумерная модель второго порядка имеет вид

то форму этой поверхности можно определить, приведя уравнение к каноническому виду:

Это выполняется путем переноса координатных осей с целью исключения членов, содержащих и поворота осей для исключения члена, содержащего . С помощью можно определить форму поверхности, т. е. установить, является ли она сферой, эллипсоидом, параболоидом, гиперболоидом и т. д. При увеличении размерности задачи этот способ значительно усложняется, однако он по-прежнему может использоваться для описания поверхности отклика.