Главная > Разное > Основные принципы планирования эксперимента
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Оценка

Целью статистической оценки является отыскание оценки параметра совокупности на основе выборочной статистики, взятой из этой совокупности. Обычно требуются два типа оценок: точечные оценки и интервальные оценки.

Точечная оценка — это численное значение статистики, используемое для оценки параметра. Например, выборочное среднее X — точечная оценка среднего совокупности Обычно предполагается, что точечные оценки имеют определенные свойства. Они должны быть несмещенными, состоятельными и иметь минимальную дисперсию.

Несмещенной статистикой называется статистика, математическое ожидание (или среднее) которой, полученное

по бесконечному числу подобных выборок, равно оцениваемому параметру совокупности. Это можно записать как где обозначает математическое ожидание статистики, записанной в скобках. Выборочное среднее есть несмещенная статистика, так как можно показать, что

Аналогично, выборочная дисперсия, определенная выше, также является несмещенной статистикой, так как

Заметим, что если требуется несмещенность то сумму квадратов нужно делить не на а на Выборочное среднее квадратическое отклонение

не является несмещенным, так как можно показать, что

Этот довольно тонкий вопрос рассматривается в книге Бёрра [4].

Состоятельной статистикой называется статистика, которая все более приближается к параметру при возрастании размера выборки. Символически это можно записать как

Эта формула выражает тот факт, что с возрастанием вероятность того, что статистика зависящая от будет на сколь угодно малую величину отличаться от истинного параметра приближается к достоверности (т. е. к единице).

Минимальная дисперсия используется в случае, когда нужно сравнить две или большее число статистик. Если две оценки одного и того же параметра то оценка, имеющая наименьшее среднее квадратическое отклонение, называется оценкой с минимальной дисперсией (фиг. 2.1).

На фиг. поэтому называется оценкой с минимальной дисперсией, поскольку дисперсия есть квадрат среднего квадратического отклонения.

Фиг. 2.1. Минимальная оценка дисперсии.

Интервальная оценка состоит в определении интервала, который включает рассматриваемый параметр. Диапазон значений между граничными точками интервала называется доверительным интервалом для этого параметра, поскольку ширина интервала может быть определена из принятой степени достоверности того, что параметр лежит в этом интервале. Доверительные пределы (граничные точки доверительного интервала) определяются наблюденной выборочной статистикой, размером выборки и требуемой степенью достоверности. -ный доверительный интервал для имеет вид

где значение 1,96 взято из таблицы нормального распределения (см. приложение, табл. А), размер выборки и а — среднее квадратическое отклонение совокупности. Если подсчитано 100 выборочных средних значений, каждое из которых основано на наблюдениях, и построено 100 доверительных интервалов по приведенной формуле, то можно ожидать, что приблизительно 95 интервалов из 100 будут включать значение Если построен только один интервал по выборке из наблюдений,

как это обычно и имеет место, то можно утверждать, что с -ной достоверностью этот интервал включает . В том случае, когда значение о неизвестно, для вычисления доверительного интервала используется -распределение Стьюдента (см. приложение, табл. Б). Доверительный интервал имеет вид

где — выборочное среднее квадратическое отклонение и имеет степеней свободы. Требуемая степень достоверности задается значением

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление