Главная > Математика > Прикладной регрессионный анализ, книга 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.9. РЕГРЕССИЯ НА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТАХ

До сих пор в этой главе, посвященной методам выбора предикторов, мы имели дело с моделями предсказания, используя только переменные в качестве основы для представления исходных данных. Возникавшие при этом трудности обычно ограничивались тем, что мы не знали значение величины а также наблюдалась высокая степень коррелированности переменных (проблема мультиколлинеарности). Гребневая регрессия представлялась как метод, позволяющий преодолеть последнее затруднение. Альтернативная процедура, которая основана на детальном анализе корреляционной структуры, была впервые предложена Хотеллингом в его ставшей уже классической работе: Ноttе1ing Harold. Analysis of a complex of statistical variables into principal components.- Journal of Educational Psychology, 1933, 24, p. 417-441, 489—520.

Используя обозначения, ранее применявшиеся в 6.7, посвященном гребневой регрессии, начнем с введения «центрированной и нормированной матрицы X», которую мы будем теперь называть «матрицей Z». В таком случае будет корреляционной матрицей. Характеристические корни (нередко их называют скрытыми (латентными) корнями или собственными числами) корреляционной матрицы представляют собой решений детерминантного уравнения

Можно показать, что сумма характеристических корней корреляционной матрицы равна следу т. е. сумме ее диагональных элементов. Она равна: если использовать обозначения, применяемые в данной главе. (Напомним, что есть число параметров в модели, включая Стандартизируем данные, т. е. перейдем к новым переменным, из которых формируются вектор-столбцы матрицы:

где

Сумма элементов каждого такого столбца равна нулю, а сумма квадратов элементов — единице. В результате мы ортогонализировали новый коэффициент и перевели предикторы в «корреляционную форму». Ранг невырожденной корреляционной матрицы равен: Очевидно, сумма всех сумм квадратов элементов по

столбцам равна Назовем ее полной дисперсией переменных. Разложим эту величину, используя преобразованные переменные

С каждым характеристическим корнем связан характеристический вектор который удовлетворяет системе однородных уравнений:

Решения выбираются из бесконечного множества «пропорциональных» решений, соответствующих каждому таким образом, чтобы соблюдалось условие Можно показать далее, что если все различны, то характеристические векторы попарно ортогональны. (Если не все различны, то надо выполнить некоторые преобразования, которые мы здесь не обсуждаем, поскольку такой случай обычно не возникает при обработке реальных данных.) Векторы используются для того, чтобы перейти от переменных к главным компонентам в форме

Сумма квадратов элементов из которых формируются вектор-столбцы равна Иными словами, каждой главной компоненте соответствует величина представляющая собой часть полной дисперсии переменных:

Таким образом, при реализации этой процедуры формируются новые искусственные переменные с помощью линейного преобразования исходных переменных, выражаемого уравнением (6.9.5), причем так, что вектор-столбцы взаимно ортогональны. Переменная соответствующая наибольшему характеристическому корню называется первой главной компонентой. Она «объясняет» наибольшую часть вариации в наборе стандартизированных данных. Последующие главные компоненты объясняют все меньшие и меньшие доли вариации. В итоге

Обычно используют не все главные компоненты, а выбирают некоторые из них по определенному правилу. Однако не существует универсальной процедуры, которой придерживались бы все. Некоторые психологи используют, например, правило, согласно которому принимаются в расчет лишь компоненты, для которых собственные числа больше единицы. Моррисон (Morrison D. F.) во 2-м издании Multivariate Statistical Methods (New York: Me Graw-Hill, 1976,

p. 273) отмечает, что компоненты целесообразно вычислять до тех пор, пока они не «объяснят» некоторую заранее назначенную большую долю (скажем, 75 % или более того) суммарной дисперсии». Иными словами, мы выбираем первые главных компонент, для которых выполняется условие В некоторых таких правилах автоматически получается набор из главных компонент, и исходные переменные представляются теперь с помощью этого набора из новых предикторных переменных. Метод наименьших квадратов используется затем для получения уравнения, связывающего с выбранными главными компонентами. Порядок их включения в уравнение роли не играет, так как все они «ортогональны» друг к другу. Коль скоро такое уравнение получено в виде функции от выбранных главных компонентов его можно преобразовать и выразить через исходные предикторы если это желательно, или проинтерпретировать в терминах выбранных переменных

Мы проиллюстрируем этот метод, используя данные Хальда (с. 283) и программу BMDP4R programs, Regression on Principal Components. Машинная распечатка сокращена. Сначала приведем контрольные данные.

(см. скан)

Для удобства приведем суммарные статистики исходных данных и корреляционную матрицу.

(см. скан)

Далее приводятся собственные числа и соответствующие им собственные векторы. Здесь лишь только три собственных числа, которые превышают установленный порог 0,01. Показано также, какая часть суммарной дисперсии независимых переменных объясняется собственными числами.

(см. скан)

Интерпретация приведенных выше результатов такова:

и т. д. Заметим, кстати, что это есть преобразование, позволяющее перейти от Для того чтобы получить зависимость от надо воспользоваться соотношением типа (6.9.2). Значения главных компонент вычисляются для каждой точки исходных данных и печатаются построчно вместе со значениями откликов.

(см. скан)

Таблица 6.4. Таблица дисперсионного анализа данных Хальда, обработанных методом главных компонент

Коэффициенты корреляции и У таковы:

Модель

была подогнана к исходным данным по методу наименьших квадратов. В итоге получили

Табл. 6.4 соответствует этой модели. В последнем столбце приведены значения -критерия, полученные при введении компонент в модель поодиночке, последовательно в порядке расположения их вкладов. Так, например, если в модель вводится только одна первая компонента, остаточная сумма квадратов равна:

с 11 степенями свободы. Величина последовательного -критерия в таком случае равна:

Величина растет от 0,9649 до 0,9820 и до 0,9821 по мере того, как добавляются ортогональные переменные Переходя обратно от переменных к переменным для этих трех случаев получим следующие подогнанные уравнения.

Только с компонентой

С компонентами и

С компонентами

Из всего приведенного выше анализа ясно, что только две компоненты и играют существенную роль в подбираемом уравнении. В силу этого целесообразно принять уравнение (6.9.11). Заметим, что во всех полученных уравнениях участвуют все переменные ни одна из них не исключается при реализации данной процедуры. Укажем также, что уравнения, выраженные через имеют смещенные оценки параметров, тогда как применяя метод наименьших квадратов непосредственно к уравнению, выраженному через исходные переменные получим несмещенные оценки.

Мнение. Основной вопрос, который возникает здесь, таков: имеют или нет реальный смысл переменные или по крайней мере имеют ли они больший смысл, чем переменные для тех систем, для которых получены данные? Если да или в том случае, когда переменные могут использоваться при эксплуатации системы, регрессия на главных компонентах чрезвычайно полезна. Если же переменные не несут в себе большего смысла, чем то метод главных компонент не настолько ценен, чтобы его рекомендовать. В целом этот метод, по-видимому, малоприменим в физических, технических и биологических науках. Он может быть полезным иногда в общественных науках как метод отыскания эффективных комбинаций переменных.

Попытки улучшить регрессию на главных компонентах обсуждаются в § 6.10.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление