Главная > Небесная механика > Точки либраций в небесной механике и космодинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Линейная нормализация

Будем исследовать устойчивость положения равновесия системы (3.1) внутри области устойчивости системы ее первого (линейного) приближения. Это означает, что число нецелое. Для дальнейшего потребуется вещественное, каноническое, -периодическое по линейное по х, у преобразование гамильтониана (3.2) к такой форме, когда его квадратичная часть имеет вид

Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с степенями свободы рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с одной степенью свободы особенно проста и будет здесь проведена способом, отличным от изложенного во второй главе.

Линеаризованная система (3.1) имеет два линейно независимых решения

где а периодические функции удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

Очевидно, что если начальные значения будут комплексно сопряженными соответственно с начальными значениями то в силу однородности системы (4.2) эти функции будут комплексно сопряженными и при всех Тогда можно положить

где вещественные периодические функции Согласно (4.2), они удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

Далее, нетрудно проверить, что линеаризованная система (3.1) имеет два независимых интеграла

Введем новые переменные формулами

Это преобразование будет каноническим (но не обязательно унивалентным), так как функции удовлетворяют соотношению

в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.

Выберем начальные значения функций так, чтобы начальные значения функций были комплексно сопряженными, а постоянная в правой части (4.7) равнялась единице (для унивалентности канонического преобразования

Обозначим через решения линеаризованной системы (3.1), удовлетворяющие условиям

Тогда начальные значения функций найдутся из следующих систем уравнений:

Определители этих систем равны нулю, так как мультипликаторы линеаризованной системы (3.1). Решения систем (4.8) можно записать в виде

где С — произвольные постоянные. Возьмем их вещественными и равными с. Тогда Из (4.3) и (4.9) получаем начальные значения функций

Полагая постоянную в (4.7) равной единице, получаем уравнение для определения с

Легко проверить, рассмотрев характеристическое уравнение, что величина так как устойчивость исследуется внутри области устойчивости линеаризованной системы (3.1). Выбором знака К (который до сих пор был не определенным) эту величину можно получить положительной. Поэтому уравнение (4.11) всегда имеет вещественное решение относительно с.

Таким образом, искомое каноническое преобразование найдено, и в переменных функция Гамильтона такова:

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление