Главная > Небесная механика > Точки либраций в небесной механике и космодинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 1. Постановка задачи

Рассмотрим автономную каноническую систему дифференциальных уравнений

Пусть начало координат является положением равновесия системы и гамильтониан И есть аналитическая функция обобщенных координат и импульсов разлагающаяся в ряд

где однородная функция степени относительно

Если знакоопределенная функция, то, согласно теореме Ляпунова, положение равновесия устойчиво (для применения теоремы Ляпунова об устойчивости в качестве функции Ляпунова

V можно взять в этом случае функцию Гамильтона . Пусть, однако, не является знакоопределенной квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном) приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты линейной системы и на коэффициенты форм вопрос об устойчивости можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мозера [2, 3, 72].

Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что

1) характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет чисто мнимые корни

где целые числа, удовлетворяющие условию

то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

В формулировке теоремы предполагается, что функция Гамильтона (1.2) записана в виде

где Выбор координат и импульсов в которых гамильтониан (1.2) представляется в виде (1.5), осуществляется при помощи преобразования Биркгофа, которое в нашем случае возможно при выполнении условия (1.3). Коэффициенты являются инвариантами функции Гамильтона (1.2) относительно канонических преобразований.

Во многих приложениях при решении задачи об устойчивости теоремы Арнольда — Мозера недостаточно. Необходимо более полное исследование, когда условия (1.3), (1.4) не выполнены.

Случай нулевых частот линеаризованной системы в рассматриваемых ниже задачах небесной механики не встретится. (Отметим, однако, что задача об устойчивости автономной гамильтоновой системы в случае двух нулевых частот тщательно исследована в работе Сокольского Предположим поэтому, что Тогда условие (1.3) не выполняется при . Исследование устойчивости в этих трех резонансных случаях проведено в § 2—4. Устойчивость при невыполнении условия (1.4) рассмотрена в § 5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление