Главная > Небесная механика > Точки либраций в небесной механике и космодинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОПОЛНЕНИЕ. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА

§ 1. Уравнения движения

Кроме точек либрации задачи трех тел, в небесной механике известны еще точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Их существование было установлено Ю. В, Батраковым в работе [6]. Эти точки либрации представляют собой частные решения дифференциальных уравнений движения материальной точки в окрестности вращающегося с постоянной угловой скоростью трехосного гравитирующего эллипсоида. Во вращающейся, связанной с эллипсоидом, системе координат эти частные решения представляют собой положения равновесия. Таких равновесных положений материальной точки всего четыре. Они расположены на продолжениях большой и малой осей экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно его центра масс.

В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомянутых точек либрации в линейном приближении и установил, что две точки либрации, расположенные на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида, неустойчивы по Ляпунову (выполнены достаточные условия неустойчивости), а две другие точки, расположенные на продолжении малой полуоси, устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые условия устойчивости).

Дальнейшее исследование устойчивости точек либрации, расположенных на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, проведено в работах С. Г. Журавлева [25, 184, 185]. Использовав недавние результаты теории гамильтоновых систем, изложенные в главах 4 и 5 настоящей книги, С. Г. Журавлев получил строгие выводы об устойчивости этих точек либрации.

Ниже кратко излагаются результаты упомянутых работ Ю. В. Батракова, В. К. Абалакина и С. Г. Журавлева, посвященных точкам либрации в окрестности вращающегося эллипсоида. Сначала получим уравнения движения. Пусть материальная точка движется в поле тяготения вращающегося с постоянной угловой скоростью со трехосного гравитирующего эллипсоида массы М. Выберем прямоугольную систему координат связанную с эллипсоидом. Начало этой системы координат поместим в центр

масс О эллипсоида; оси совпадают с главными центральными осями инерции эллипсоида, и направление угловой скорости вращения последнего совпадает с направлением оси

Дифференциальные уравнения движения материальной точки во вращающейся системе координат можно (см. [24]) записать в виде

где V — потенциал притяжения эллипсоида.

Рис. 47. Точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.

Пусть эллипсоид представляет собой однородное гравитирующее тело, поверхность которого можно записать в виде уравнения

Потенциал такого эллипсоида на внешнюю точку задается формулой Дирихле [24]

где гравитационная постоянная, а и — положительный корень уравнения

Пусть эллипсоид мало отличается от однородного шара радиуса и имеет объем, равный объему этого шара. Тогда

где и малые по сравнению с величины, которые в силу равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с точностью до малых более высокого порядка соотношению Разлагая потенциал (1.2) в ряд по степеням получаем выражение для потенциала притяжения эллипсоида в виде.

Здесь не выписаны члены более высокого порядка относительно

а, а через обозначено расстояние от материальной точки до центра масс эллипсоида.

Для дальнейшего удобнее рассматривать уравнения движения в безразмерных переменных. Положим

где Введем еще вместо трех малых величин один параметр , связанный с упомянутыми величинами соотношениями

В новых переменных уравнения движения (1.1) запишутся в виде

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление