Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Общий случай задачи трех тел

141. Перейдем теперь к случаю пространственной задачи трех тел. В этом случае число переменных равно четырем и уравнение (1) п. 135 записывается в виде

Его нельзя проинтегрировать с помощью метода, примененного нами в п. 138, точно так же не известен и какой-либо другой способ его точного интегрирования. Однако можно найти простой метод формального интегрирования, удовлетворительный с нашей точки зрения.

Величины

имеют порядок квадрата эксцентриситетов, следовательно, если положить

где некоторая константа, порядок которой равен квадрату эксцентриситетов, то производные будут конечны.

Функцию можно разлагать по возрастающим степеням

где означают совокупность членов степени относительно имеют здесь тот же смысл, что и величины, обозначенные этими же символами в п. 131). Если я обозначу символом функцию, которая получается из при подстановке вместо то уравнение (1) примет вид

либо

зависит лишь а поскольку в данный момент мы рассматриваем эти величины как постоянные, также является константой.

Если теперь положить

то уравнение (1) запишется в виде

Таким образом, мы приходим к интегрированию уравнения с частными производными, левая часть которого зависит от производных и, кроме того, периодична по независимым переменным Она зависит также от некоторого параметра и становится равной

если этот параметр обращается в нуль. Следовательно, при левая часть этого уравнения не зависит от а зависит лишь от

Итак, мы находимся в условиях, в которых применимы рассуждения п. 125. Отсюда можно заключить, что существует ряд

расположенный по степеням который будучи подставлен вместо Т, формально удовлетворяет уравнению (2), при этом производные

коэффициентов этого ряда периодичны по Положим

где четыре постоянных интегрирования; постоянная С должна удовлетворять уравнению

Нетрудно проверить, что представляют собой полиномы степени к относительно четырех величин

Отсюда следует, что

можно записать в виде ряда, расположенного по целым возрастающим степеням четырех величин

которые я для краткости обозначу

Этот ряд, расположенный по степеням четырех констант порядок которых равен квадрату эксцентриситетов, формально удовлетворяет уравнению (1).

Таким образом, мы приходим к интегрированию уравнения с частными производными, левая часть которого зависит от производных и, кроме того, периодична по независимым переменным Она зависит также от некоторого параметра и становится равной

если этот параметр обращается в нуль. Следовательно, при левая часть этого уравнения не зависит от а зависит лишь от

Итак, мы находимся в условиях, в которых применимы рассуждения п. 125. Отсюда можно заключить, что существует ряд

расположенный по степеням который будучи подставлен вместо формально удовлетворяет уравнению (2), при этом производные

коэффициентов этого ряда периодичны по со Положим

где четыре постоянных интегрирования; постоянная С должна удовлетворять уравнению

Нетрудно проверить, что Тк представляют собой полиномы степени к относительно четырех величин

Отсюда следует, что

можно записать в виде ряда, расположенного по целым возрастающим степеням четырех величин

которые я для краткости обозначу

Этот ряд, расположенный по степеням четырех констант порядок которых равен квадрату эксцентриситетов, формально удовлетворяет уравнению (1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление