Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Исследование рядов (2)

148. Итак, вопрос о сходимости рядов (3) заменен вопросом о сходимости рядов (2).

Но этот вопрос распадается на несколько более мелких. В самом деле, ряды (2) зависят от и постоянных интегрирования Можно поставить следующие вопросы:

1) сходятся ли ряды (2) равномерно при всех значениях и констант изменяющихся в некотором интервале;

2) сходятся ли ряды (2) равномерно при достаточно малых значениях и надлежащим образом выбранных значениях

На первый вопрос следует отвечать отрицательно.

В самом деле, предположим, что ряды (2) сходятся равномерно и что их можно записать в виде

где и — функции, допускающие разложение по возрастающим степеням периодические по и, кроме того, как-то зависящие от

Разрешим уравнения (7) относительно и Из этих уравнений можно найти в виде рядов, расположенных по степеням коэффициенты которых зависят лишь от и

Нетрудно убедиться в этом. Действительно, для того чтобы усмотреть, что теорема применима, достаточно лишь заметить, что при рассмотренные выше уравнения принимают вид

и якобиан их правых частей равен 1. Впрочем, можно было бы воспользоваться обобщенной формулой Лагранжа.

Итак, мы нашли

где - функции, допускающие разложение по степеням однозначно зависящие от х и у и периодические по у. Таким образом, уравнения (8) определяют однозначных интегралов наших дифференциальных уравнений.

С другой стороны,

и определенные таким образом коэффициенты зависят от

(страница пропущена)

В функциях

постоянные следует заменить теми их значениями, которые отвечают периодическому решению (10); таким образом, функции (11) будут периодическими по

Отсюда следует, что характеристических показателей равны нулю. Однако мы знаем, что в общем случае это неверно. Следовательно, вообще говоря, ряды (2) не сходятся равномерно, если и изменяются в некотором интервале [42].

149. Нам осталось еще рассмотреть второй вопрос. Действительно, можно спросить, не могут ли эти ряды сходиться при малых значениях если придавать надлежащим образом подобранные значения.

Здесь следует различать два случая.

Вообще говоря, величины зависят не только от но и от и разлагаются по степеням

Кроме того, мы видели, что средние значения функций можно выбирать произвольным образом. Мы видели также, что эти средние значения можно выбирать так, чтобы

т. е. чтобы не зависели от

В силу этого можно отдельно рассмотреть случаи, когда зависят от и когда от не зависят.

Предположим сначала, что зависят от и имеется лишь две степени свободы.

Пусть

Кроме того, должны разлагаться по степеням причем так, чтобы были периодическими функциями по

Это должно происходить при достаточно малых Однако среди значений меньших некоторого предела, всегда можно найти такие, что отношение будет рациональным, поскольку это отношение представляет собой непрерывную функцию от

Но если отношение рационально, то ряды (2) определяют некоторое периодическое решение уравнений (1) при любых постоянных интегрирования и [43].

(страница пропущена)

Не может ли случиться так, что ряды (2) будут сходиться при некоторых надлежащим образом выбранных значениях

Предположим для простоты, что имеется две степени свободы. Не могут ли ряды (2) сходиться, например, при условии, что подобраны таким образом, что отношение иррационально, а квадрат его, напротив, рационален (либо же на отношение наложено какое-нибудь другое условие, аналогичное сказанному, которое я выбрал до некоторой степени случайно)?

Рассуждения, проведенные в этой главе, не дают мне оснований утверждать, что такого случая представиться не может. Я могу лишь сказать, что такой случай весьма маловероятен [44].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление