Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Алгебраические особые точки

32. Рассмотрим уравнение

и предположим, что при

обращается в нуль вместе со своими первыми производными по у. Тогда при значение 0 переменной у является решением порядка этого уравнения.

Можно показать, что существуете сходящихся разложений у по дробным положительным степеням х, обращающихся в нуль вместе ежи удовлетворяющих этому уравнению (см. классические работы Пюизе об алгебраических уравнениях).

Эти сходящихся разложений распределяются по группам следующим образом.

Пусть

— одно из этих разложений и К — корень степени из единицы.

Разложение

будет также удовлетворять уравнению (1). Можно, следовательно, получить из разложения (2) других разложений, которые вместе с ним образуют группу; я назову ее группой порядка

Сумма порядков всех групп, очевидно, равна Предположим, что имеются групп порядка сумма их порядков будет равна и мы получим

Коэффициенты разложений, принадлежащих к группам порядка Р, будут заданы алгебраическими уравнениями порядка

Если нечетно, эти уравнения будут иметь по меньшей мере один действительный корень и по меньшей мере одно разложение будет иметь действительные коэффициенты. Поскольку, кроме того, нечетно, если нечетно, то соответствующее значение у также будет действительным.

Но если нечетно, по крайней мере одна из величин будет нечетна, следовательно, тогда по меньшей мере одно из значений у будет действительным.

Итак, если нечетно, уравнение (1) допускает по меньшей мере одно действительное решение при малых значениях х.

Можно еще добавить, что числа действительных решений при малых положительных и отрицательных значениях х будут оба той же четности, что и Речь идет о тех действительных решениях, которые обращаются в нуль вместе с х.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление