Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Луны без квадратуры

52. В качестве приложения вернемся к уравнениям Хилла

Эти уравнения удовлетворяются, если положить

Здесь постоянные; можно считать, что уравнения (2) определяют периодическое решение уравнений (1).

Легко заметить астрономический смысл этого решения. Уравнение означает, что Луна находится постоянно в соединении или противостоянии, а второе из уравнений (2) означает, что расстояние от Луны до Земли постоянно. Таким образом, это периодическое решение есть не что иное, как решение, определенное Лапласом в «Mecanique celeste», Livre VI, Chap. X.

Но мы намереваемся определить периодические решения, которые очень мало от него отличаются, применяя принципы предыдущего пункта. С этой целью предположим сначала, что единица длины выбрана так, что

и что единица времени выбрана так, что

где а — очень малый параметр.

Если мы положим то система (1) может быть заменена следующей, аналогичной системе (1) предыдущего пункта:

Если мы образуем теперь уравнение предыдущего пункта относительно то получим

Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых

Если теперь мы положим

то получим

Определитель А предыдущего пункта, следовательно, равен нулю и можно образовать ряды, которые расположены по дробным степеням (здесь эти ряды будут расположены по целым степеням и которые после подстановки их вместо удовлетворяют уравнениям (2) предыдущего пункта. Можно проверить (и я вернусь к этому позже), что коэффициенты этих рядов действительны.

Уравнения (1) Хилла допускают, следовательно, периодические решения, мало отличающиеся от решения (2). В этих решениях остается очень малым и Луна всегда находится почти в противостоянии (или соединении). Хилл был прав, заявив, что можно представить себе класс спутников, которые никогда не смогут быть в квадратуре; однако способ, которым он намеревался получить этот, так сказать угаданный им результат, никак не мог к нему привести; действительно, этот класс не является, как думал Хилл, аналитическим продолжением того класса, который он изучал вначале столь глубоко и блистательно.

Я добавлю, что в этой категории периодических решений Луна находится в симметричном противостоянии в начале и середине каждого периода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление