Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

Уравнения в вариациях

53. Маловероятно, чтобы в каком-либо приложении начальные условия движения в точности соответствовали периодическому решению; но может случиться, что они отличаются от него очень мало. Тогда, если рассматривать координаты трех тел в их истинном движении и, с другой стороны, координаты, которые эти же три тела имели бы в периодическом движении, то разность остается очень малой по крайней мере в течение некоторого времени, и в первом приближении можно пренебречь квадратом этой разности.

Пусть

— система дифференциальных уравнений, где данные функции

Пусть

— некоторое решение этих уравнений, которое мы назовем порождающим решением.

Пусть

— решение, мало отличающееся от первого.

Если пренебречь квадратами то можно записать

Уравнения (2) мы назовем уравнениями в вариациях уравнений (1). Понятно, что можно в первом приближении пользоваться этими уравнениями в вариациях для определения .

Предыдущих рассуждений достаточно, чтобы понять важность этих уравнений. Поэтому мы займемся их подробным изучением, делая упор в основном на уравнения в вариациях для уравнений динамики.

54. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта и уравнениям (2), которые являются их уравнениями в вариациях.

Когда известно решение уравнений (1), содержащее некоторое число произвольных постоянных, то можно, исходя из него, найти частные решения уравнений (2).

Действительно, предположим, что уравнения (1) удовлетворяются при

Я предполагаю, что порождающее решение получается, если положить в уравнениях (3)

где произвольных постоянных.

Ясно, что уравнения (2) допускают частных решений

Конечно, в этих производных после дифференцирования надо положить

Предположим теперь, что известен один интеграл уравнений (1), и пусть

— этот интеграл.

Тогда для решения сэлутш

и для решеии с

где — две числовые постоянные.

Если мы предположим, что очень малы, то же самое можно будет сказать о разности , и если пренебречь квадратами этих величин, то получим

В частных производных надо, конечно, после дифференцирования положить

Уравнение (4) даст тогда интеграл уравнений (2). Важно заметить, что этот интеграл, вообще говоря, содержит время в явном виде.

Таким образом, если известен интеграл уравнений (1), можно из него получить интеграл уравнений (2).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление