Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Определение характеристических показателей

59. Пусть

— система дифференциальных уравнений, где .-данные функции от Мы можем предполагать либо, что время не

входит явно в эти функции либо, наоборот, что функции зависят не только от но еще и от времени в последнем случае X, должны быть периодическими функциями ?.

Предположим, что эти уравнения (1) допускают периодическое решение

Возьмем это решение за порождающее и образуем уравнения в вариациях (см. п. 52) уравнений (1), положив

и пренебрегая квадратами .

Эти уравнения в вариациях запишутся в виде

Они линейны относительно и их коэффициенты (где заменены на являются периодическими функциями Итак, нам надо проинтегрировать линейные уравнения с периодическими коэффициентами.

В п. 29 мы видели, какова в общем случае форма интегралов этих уравнений; мы получаем частных интегралов следующего вида:

где постоянные периодические функции от того же периода, что и

Постоянные а называются характеристическими показателями переодического решения.

Если а чисто мнимое, так что его квадрат отрицателен, то модуль есть постоянная, равная единице. Если, напротив, а действительное или если а такое комплексное число, что его квадрат не является действительным, то модуль стремится к бесконечности при или Итак, если все а имеют действительные и отрицательные квадраты, величины остаются конечными; я скажу тогда, что периодическое решение устойчиво; в противном случае я скажу, что это решение неустойчиво.

Интересным частным случаем является случай, когда два или несколько характеристических показателей равны между собой. В этом случае интегралы уравнений (2) уже нельзя записать в виде (3). Если бы,

например,

то уравнения (2) допускали два частных интеграла вида

и

где и периодические функции (см. п. 29).

Если бы три из характеристических показателей были равны между собой, то вне знаков тригонометрических и экспоненциальных функций могло бы появиться не только но и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление