Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VII. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

104. Пусть

— система дифференциальных уравнений, X — функции Они разлагаются в степенные ряды по х и периодичны по с периодом

Пусть

— частное периодическое решение этих уравнений; будут периодическими функциями с периодом Положим

Получим

где Н будут функциями периодическими по и разложимыми в ряд по степеням но в разложении не будет содержаться члена, не зависящего от

Если очень малы и мы пренебрегаем их квадратами, то уравнения (2) сводятся к уравнениям

которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).

Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Известен вид их общего решения, а именно:

где А — постоянные интегрирования, а — фиксированные константы, называемые характеристическими показателями, ф - периодические функции

Тогда, если положим

уравнения (2) примут вид

где функции от того же вида, что и S.

Мы можем далее записать

где представляет множество членов степени по

Что касается уравнений (3), то они примут вид

Попытаемся найти теперь вид общих решений уравнений (2) и (2). Я утверждаю, что мы должны найти функции, разложенные в ряд по степеням коэффициенты которых периодические функции от

Мы можем тогда записать

где представляет множество членов степени по А.

Заменим их значениями в и найдем

где обозначает множество членов степени по

Мы найдем тогда

Эти уравнения позволят последовательно вычислить

В самом деле, зависит лишь от Если мы предположим, что эти величины были заранее вычислены, то сможем записать в следующем виде:

где положительные целые числа, сумма которых равна периодическая функция.

Можно еще записать

где С — вообще говоря, комплексный коэффициент, а у — положительное или отрицательное целое число. Для краткости положим

тогда получим

Но этому уравнению можно удовлетворить, полагая

Исключение составляет случай, когда

В этом случае в формулах возникнут члены с Рассмотрение этого частного случая мы отложим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление