Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Вид функций V4

114. Рассмотрим функцию

и заменим в ней x на

и у на

Обозначения

имеют тот же смысл, что и в п. 108. Единственная разница заключается в том, что у нас имеются здесь лишь две степени свободы и параметр, по которому мы разлагаем в ряд и который играет роль равен здесь величины (23), следовательно, являются известными функциями Что касается то это некоторые дополнительные члены. Я намерен исследовать, при каком условии разлагается в ряд по степеням

Положим для краткости

Для того чтобы функция

разлагалась в ряд по возрастающим степеням и, следовательно, по степеням очевидно, необходимо и достаточно, чтобы точка

не была особой точкой для

Но константы, функции определенные уравнениями (8) из . Далее, в большинстве приложений функция остается голоморфной, каковы бы ни были вещественные значения если имеют постоянные значения, соответствующие периодическому решению.

Возьмем, например, задачу из и предположим, что определяют форму эллипса, описанного бесконечно малой массой, а определяют положение перигелия этого эллипса и положение массы на орбите.

Для того чтобы перестала быть голоморфной, эта бесконечно малая масса должна была бы встретить одну из двух других масс; если эллипс не пересекает окружности, описанной второй массой, как это и бывает почти во всех приложениях, то эта встреча никогда не сможет произойти, каковы бы ни были вещественные значения

Так же обстоит дело в случае большего числа степеней свободы, когда мы исследуем задачу трех тел во всей общности.

Тогда переменные определяют форму эллипсов и взаимное наклонение их плоскостей, переменные определяют положение узлов, перигелиев и самих масс. Тогда в большинстве случаев значениям переменных соответствующим периодическому решению и предельному

значению отвечают два эллипса, которые не могут пересекаться, как бы они ни вращались в своих плоскостях. Функция следовательно, не может перестать быть голоморфной ни при каких вещественных значениях

Таким образом, мы должны предположить, что при голоморфна для всех вещественных значений Случаи, когда это не так, не имеют значения с точки зрения приложений.

Впрочем, мы всегда делали это предположение.

Если теперь заменить в величины выражениями (22), то разлагается в ряд по степеням а, и и это разложение, коэффициенты которого зависят от сходится при всех значениях Радиусы сходимости как по а, так и по у и непрерывно зависят от и не обращаются в нуль ни при одном вещественном значении этих переменных.

Если заметить, что связаны между собой соотношениями

и соотношениями (13bis), (17) и (23), то можно заключить, что и, следовательно, Ф разлагаются в ряды по степеням а и что коэффициенты разложений и радиусы сходимости непрерывно зависят от и что эти радиусы сходимости не обращаются в нуль ни при одном вещественном значении

Из этого факта и из того, что мы уже знаем о функциях (которые являются не чем иным, как производными Ф), мы можем заключить следующее.

Можно найти два вещественных положительных числа М и (3, не зависящих от и достаточно больших, для того чтобы выполнялось (полагая для краткости

для всех вещественных значений и всех значений заключенных между

О и произвольным верхним пределом Величина может быть сколь угодно велика, но числа должны быть выбраны тем большими, чем больше будет

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление