Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Связь с одной теоремой Якоби

269. Известно, что Якоби в начале своих «Vorlesungen liber Dynamik» доказал, что в случае ньютонова притяжения среднее значение кинетической энергии равно с точностью до постоянного множителя среднему значению потенциальной энергии при допущении, разумеется, что координаты могут быть выражены тригонометрическими рядами того же вида, что и ряды, которые мы здесь изучаем.

Эта теорема Якоби непосредственно примыкает к предыдущему. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом:

откуда

Тогда — V представляет собой потенциальную энергию, С — полную энергию, а

— кинетическую энергию.

С другой стороны, так как функция V однородна степени —1, мы будем иметь

Уравнение живых сил можно, следовательно, записать в виде

С другой стороны, возьмем снова уравнения (9) п. 267 и просуммируем их после умножения соответственно на получим

Замечая, что

поскольку заключаем, что

Сравнивая с уравнением живых сил, находим

это показывает, что С должна быть однородной степени 2/3 относительно что можно было бы увидеть, впрочем, непосредственно. Теперь, среднее значение функции которое я обозначу будет нулем, если производная периодической функции; следовательно, имеем

и, сопоставляя с уравнением живых сил, выводим

откуда

Это — теорема Якоби.

Рассматривая частные производные вместо полных производных мы пришли бы к аналогичным результатам. Мы нашли бы

и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление