Макеты страниц Приложение к уравнениям динамики312. Пусть
Я предположу, как я это обычно делаю, что: 1) F - периодическая функция от 2) F зависит от параметра
При этих условиях мы будем иметь интеграл
где С — постоянная. Установив это, дадим С значение, определенное раз навсегда, и пусть М — подвижная точка, прямоугольные координаты которой суть
Функция Предположим сначала, что F, которое будет зависеть каким-то образом от
Если принять это предположение, точка М всегда будет находиться внутри тора радиуса 1, касающегося оси z. Каждой точке М внутри этого тора будет соответствовать бесконечное число систем значений Если задать Через каждую точку внутри тора проходит одна и только одна траектория. Легко видеть, каков вид этих траекторий при При
Следовательно,
зависящая только от Если Пусть
положим
Тождество
показывает, что при переходе от переменных Предположим, что
Это неравенство, верное при В таком случае соотношения
определят некоторую плоскую область Тогда траектории, выходящие из точки этой области, никогда не будут касаться плоскости, проходящей через ось z, по крайней мере, до нового пересечения с полуплоскостью Следовательно, наша область сможет играть роль области D из п. 310. Уравнения (1) допускают интегральный инвариант
откуда мы выводим следующий интегральный инвариант при помощи интеграла
Но производная Результаты пунктов 306 и 308 применимы, следовательно, к кривым, проведенным в области При этих предположениях пусть
где Кривая
являющаяся окружностью, будет инвариантной кривой при Предполагая опять
откуда
Для того чтобы получись последовательные последующие заданной точки, достаточно положить последовательно
Чтобы перейти от точки к ее последующей, достаточно, следовательно, увеличить
откуда следует, что все точки инвариантной окружности Эта точка и ее Не будем предполагать более, что
Они допускают, по крайней мере, два таких решения, из которых одно неустойчиво, а другое устойчиво. Каждому из этих периодических решений будет соответствовать замкнутая траектория; я рассматриваю одну из этих траекторий, которую обозначаю Т и которую буду считать соответствующей неустойчивому решению, с тем, чтобы через Т проходили две асимптотические поверхности. Пусть Я соединяю точку Различные точки Я сделал рисунок, предполагая для определенности, что Замкнутая траектория Т пересекает полуплоскость в пяти точках
Рис. 7 Пересечение этих асимптотических поверхностей с полуплоскостью будет состоять из различных кривых; мы будем иметь две кривые, пересекающиеся в Рассмотрим, в частности, две кривые, проходящие через Аналогично, в каждую из точек Пусть
Тогда мы видим, что Дуги Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из ы. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К. Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309, то же относится и ко второму предположению. Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в п. 207, это уравнение можно получить следующим образом. Построим функцию
Что касается Далее мы имеем
Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд Что же означает тогда уравнение
то уравнение
будет верным с точностью до величин порядка
Тогда мы видим, что Дуги Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из п. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К. Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309, то же относится и ко второму предположению. Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в
Что касается Далее мы имеем
Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд Что же означает тогда уравнение
то уравнение
будет верным с точностью до величин порядка Если мы предположим, что эксцентриситет очень мал, то Я замечаю, кроме того, что равенства
показывают, что Предположим, что
Она будет периодической с периодом Если, наоборот,
Но мы предполагаем, что четыре переменные х и у связаны уравнением живых сил
это уравнение приближенно приводится к
Построим кривую Уравнение это можно записать в виде
Эта кривая имеет две асимптоты
и симметрична относительно первой из этих двух асимптот. Но важно заметить, что единственная часть кривой, которая нам полезна, расположена в первом квадранте
В зависимости от значений С кривая может представлять одну из форм, изображенных на рис. 8 и 9. Оси координат представлены штрих-пунктиром, асимптоты и полезные части кривой — сплошной линией, ненужные части кривой — пунктирной линией. Предположим, что С дано такое значение, что кривая имеет форму, представленную рис. 9, и что она содержит две полезные дуги Заметим, что при обходе дуги Если мы построим теперь кривую Так мы приходим к следующему способу геометрического представления: представим положение системы точкой, прямоугольные координаты которой есть
эти три функции разложимы по степеням
Рис. 8
Рис. 9 Они зависят только от отношения Каждой системе значений Функциональный определитель от трех координат относительно Следовательно, мы можем применить результаты предыдущего пункта внутри всей области Но Однако если
Но левая часть этого равенства есть
Поскольку
(если только С не очень близко к своему пределу 3/2, чего мы не предполагаем). Следовательно, при наших условиях мы не будем иметь Итак, результаты предыдущего пункта применимы, и если построить асимптотические поверхности и рассмотреть пересечение этих поверхностей с полуплоскостью Я добавлю еще несколько слов. Координаты третьего тела относительно большой и малой оси описываемого им эллипса согласно известной формуле суть
Таким образом, мы видим, что когда Отсюда вытекает, что возмущаемая планета обращается в том же направлении, что и возмущающая планета, если
|
Оглавление
|