Главная > Небесная механика > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XXXIII. ДВОЯКО-АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Различные способы геометрического представления

392. Для изучения двояко-асимптотических решений мы ограничимся сейчас весьма частным случаем , когда масса возмущаемой планеты равна нулю, орбита возмущающей планеты круговая, наклоны равны нулю. Тогда задача трех тел допускает интеграл, хорошо известный под названием интеграла Якоби. Возвратимся к изучению этой задачи п. 9 в п. 299; мы должны будем различать несколько случаев. На стр. 145 мы видели, что должно существовать неравенство

Затем мы различали случай, когда намного меньше и когда достаточно велико (стр. 146), и мы видели, что кривая

распадается на три замкнутые ветви, которые мы назвали следовательно, в силу неравенства (1) точка , доляша всегда оставаться внутри или всегда внутри или всегда вне прямоугольные координаты возмущаемой планеты относительно подвижных осей).

В дальнейшем мы предположим, что значение постоянной достаточно велико, чтобы кривая (2) также распадалась на три замкнутые ветви и чтобы точка всегда оставалась внутри Таким образом, расстояние возмущаемой планеты от центрального тела может обратиться в нуль, но этого не произойдет с расстоянием менаду двумя планетами.

Это предположение соответствует следующему, которое мы сделали на стр. 178, а именно, что кривая имеет вид, представленный на рис. 9, и что точка остается на дуге

Мы примем сейчас обозначения п. 313; введем, следовательно, кеплеровы переменные Но имеется два способа определения этих кеплеровых переменных. Мы могли бы, как в , отнести возмущаемое тело к центру тяжести возмущающего и центрального тел и рассмотреть оскулирующий эллипс, описанный вокруг этого центра тяжести. Однако

предпочтительнее отнести возмущаемое тело к самому центральному телу и рассмотреть оскулирующий эллипс, описанный вокруг этого центрального тела.

Эти два метода одинаково законны; в самом деле, мы видели в , что можно отнести тело В к телу А, а тело С — к центру тяжести . Ясно, что можно было бы также отнести С к к центру тяжести . Если А представляет центральное тело, В — возмущающее тело и С — возмущаемое тело, то мы видим, что первым решением является то, которое было принято в , и что во втором решении, которое мы примем с этих пор, оба тела отнесены к центральному телу, поскольку центр тяжести лежит в А, так как масса С равна нулю.

Тогда имеем

где означают массы возмущающего тела и центрального тела,

— расстояние между двумя планетами, 1 — постоянное расстояние возмущающего тела от центрального тела, расстояние возмущаемого тела от центрального тела.

Как в , положим

Мы видим — и это важное обстоятельство, на которое я хотел бы обратить внимание, — что в области, из которой точка не может выйти, функция всегда остается конечной.

Мы примем способ представления, указанный на стр. 178, и изобразим положение системы точкой пространства, координаты которой суть

Мы видим, что когда отношение постоянно, точка X, Y, Z описывает тор; что этот тор сводится к оси когда это отношение бесконечно, и к окружности когда это отношение равно нулю.

Производные остаются конечными в рассматриваемой области, так же как сама функция кроме случаев, когда или очень

мало; этого не будет для производных которые могут обратиться в бесконечность при Отсюда вытекает, что

очень мало отличаются от На стр. 179 мы видели, что при сделанном нами предположении и, следовательно, не могут обратиться в нуль, потому что постоянная С живых сил (постоянная С п. 313 легко приводится к постоянной h п. 299) больше 3/2. Следовательно, мы будем иметь, если не очень мал

ибо производная может обратиться в бесконечность только при откуда следует, что всегда возрастает, за исключением случая очень малых значений

Пусть М есть такая точка что она будет находиться на полуплоскости

Когда будут изменяться в соответствии с дифференциальными уравнениями, точка X, Y, Z опишет некоторую траекторию; когда переменная которая монотонно возрастает, достигнет значения точка придя в будет снова находиться на полуплоскости

Тогда точка является последующей точки М, согласно определению п. 305. Так как монотонно возрастает, то всякая точка полуплоскости имеет последующую и предшествующую; исключение существует только при очень малом т. е. для точек полуплоскости, которые очень удалены от начала или очень близки к оси

Мы будем иметь интегральный инвариант в смысле п. 305; попытаемся построить этот инвариант.

Уравнения, будучи каноническими, допускают интегральный инвариант

Положим и примем за новые переменные тогда инвариант примет вид

Из этого четырехкратного инварианта мы выведем (в силу существования интеграла тройной инвариант

В этом тройном инварианте предполагаются замененными функциями от при помощи уравнений

Примем теперь за переменные X, Y, Z и назовем якобиан от X, Y, Z относительно тогда инвариант примет вид

Пусть

откуда

Положим еще

простые вычисления дают

Следовательно, наш инвариант запишется в виде

Принципы п. 305 позволяют нам вывести из него следующий инвариант в смысле п. 305:

Здесь играют ту же роль, которую играли в анализе, проведенном в п. 305.

Количество под знаком интеграла существенно положительно, кроме случая очень малого т. е. всюду, кроме точек полуплоскости, очень удаленных от начала или очень близких к оси Z.

393. Это обстоятельство (что точка не будет иметь последующей, если она слишком удалена от начала или слишком близка к оси могло бы причинить некоторое затруднение, и может быть полезно преодолеть эту трудность каким-нибудь приемом.

Мы могли бы воспользоваться сначала замечанием и заменить, полуплоскость криволинейной односвязной областью S. Вот как мы выбрали бы эту криволинейную область.

Если очень малб, эксцентриситет очень мал и две планеты обращаются в противоположных направлениях; принципы применимы и позволяют утверждать существование периодического решения первого сорта, которое будет, очевидно, удовлетворять следующим условиям: количества

являются периодическими функциями времени кроме того, эти функции зависят от и постоянной живых сил они разложимы по степеням период Т также зависит от и от згол увеличивается когда увеличивается на период. Наконец, делятся на так что при мы имеем

При нашем способе изображения это периодическое решение, которое я называю о, изображается замкнутой кривой так как очень малб, когда очень малб, то эта кривая очень мало отклоняется от оси я хочу сказать, что она отклоняется от нее столь же мало, как окружность очень большого радиуса мало отклоняется от прямой. Всякая точка кривой К либо очень удалена от начала, либо очень близка к оси

При этих условиях криволинейная область имела бы периметром кривую К, она мало отклонялась бы от полуплоскости , за исключением непосредственной окрестности кривой К. Было бы легко при этом доопределить ее таким образом, чтобы всякая точка этой области имела последующую в ней самой. Для этого было бы достаточно, чтобы, если я назову какую-нибудь траекторию, т. е. одну из кривых, определенных при нашем способе изображения дифференциальными уравнениями, было бы достаточно, говорю я, чтобы поверхность не касалась ни в одной точке ни одной из траекторий .

Однако имеется другое средство, которое в сущности не отличается от первого. Легко сообразить, что аналогичная трудность уже встречалась в главе XII; следовательно, мы приходим к необходимости сделать, замену переменных, аналогичную замене .

Положим сначала

затем

где функция от Пусть далее

и, наконец,

Сначала я замечаю, что каноническая форма уравнений не изменится, когда я перейду от переменных затем к затем, наконец, к

Мне остается выбрать функцию

Я знаю, что функция в рассматриваемой области является голоморфной функцией от Я хочу, чтобы она осталась голоморфной функцией от новых переменных

Для этого нужно потребовать, чтобы старые переменные были голоморфными функциями от новых переменных и от свою очередь для этого достаточно предположить, что голоморфная функция от

и делится на

Затем потребуем, чтобы для нашего периодического решения а было

Итак, пусть

— уравнения для периодического решения; А, В, С — функции от периодические с периодом и разложимые по степеням

Тогда также будет периодической функцией от пусть — ее среднее значение; мы можем найти другую такую периодическую функцию я, что

В таком случае мы должны будем только предположить, что при функция сводится к

Этого будет достаточно, чтобы уравнения для периодического решения сводились в новых переменных к

Очевидно, можно найти функцию которая будет разложимой по степеням и делиться на и которая в то же время сводится к выражению (2) при

Примем новые переменные

Функция F, которая была голоморфной относительно также голоморфной относительно С другой стороны, так как одним из решений дифференциальных уравнений является

то мы должны иметь при следующие соотношения:

При малых значениях и функция F разложима по степеням В силу соотношений (3), при члепы цервой степени этого разложения исчезают, а члены нулевой степени сводятся к постоянной, не зависящей от

Эта постоянная не может, кроме того, быть не чем иным, как постоянной живых сил С, так что условия можно заменить следующими:

Таким образом, при члены первой степени относительно 1г и в разложении F исчезают. Трудность проистекала от того, что содержали члены первой степени относительно

что, следовательно, производная имея члены с обращалась в бесконечность при

Здесь эта трудность более не существует; мы не имеем более членов иервой степени относительно следовательно, производная остается конечной даже при и производная которая очень мало отличается от всегда сохраняет один и тот же знак. Следовательно, с нашими новыми переменными, которые, кроме того, отличаются от старых только на очень малые величины порядка мы всегда будем иметь

Примем с нашими новыми переменными условие, аналогичное условию предыдущего параграфа, и представим положение системы точкой

пространства, координаты которой есть

Все, что мы говорили, сохранит силу; только, так как никогда не может обратиться в нуль, всякая точка полуплоскости, без исключения, будет иметь последующую.

Теперь я говорю, что интегральный инвариант всегда положителен. Можно было бы сомневаться здесь только относительно знаменателя, который с теми же переменными был и теперь равен

что, рассматривая F как функцию четырех переменных

можно написать в виде

В этой форме легко видеть, что знаменатель является голоморфным относительно величин Но при функция F сводится к

и легко проверить, что знаменатель всегда положителен. Следовательно, он положителен также и для малых значений

394. Итак, в последующем мы примем переменные, определенные в предыдущем пункте. При этом отбросим штрихи, ставшие ненужными, и будем писать вместо

Тогда мы имеем интегральный инвариант (в смысле п. 305)

где

Сначала я замечу, что этот интегральный инвариант, который всегда положителен, остается конечным, когда он распространяется на всю полуплоскость.

В самом деле, если является бесконечно малой величиной первого порядка, числитель является бесконечно малой второго порядка, и то же самое будет верно относительно Если является бесконечно большой величиной первого порядка, числитель остается конечным, тогда как D является бесконечно большой величиной четвертого порядка. Все остальные величины остаются конечными.

Я назову значение инварианта распространенного на всю полуплоскость.

Периодические решения и криволинейные траектории, которые их представляют, характеризуются тем, что эти кривые пересекают полуплоскость в точках, число последовательных последующих которых конечно; сошлемся, например, на п. 312 и, в частности, на рис. 7 (стр. 175).

На этом рисунке замкнутая траектория, которая представляет периодическое решение, пересекает полуплоскость в пяти точках: являющихся последующими друг друга. Для краткости я назову подобную систему системой периодических точек, или периодической системой.

Каждому неустойчивому периодическому решению соответствуют две системы асимптотических решений; эти решения представлены траекториями (в смысле п. 312), и множество этих траекторий образует то, что мы назвали асимптотическими поверхностями. Пересечение асимптотической поверхности с полуплоскостью назовем асимптотической кривой. Так же, как мы видели на рис. 7, в каждой точке неустойчивой периодической системы сходятся четыре ветви асимптотических кривых которые попарно лежат на продолжении друг друга.

Имеется бесконечное множество асимптотических кривых, ибо имеется бесконечное множество неустойчивых периодических решений и, следовательно, систем неустойчивых периодических точек, даже если мы ограничимся решениями первого рода, определенными в пунктах 42 и 44.

Будем различать асимптотические кривые первого и второго семейства в зависимости от того, будет ли соответствующий характеристический показатель положительным или отрицательным; асимптотические кривые первого семейства характеризуются следующим свойством: предшествующая какой-либо из их точек очень близка к периодической точке, если рчень велико; для кривых второго семейства очень близкой к периодической точке будет последующая, а не предшествующая.

На рис. 7 кривые и принадлежат к первому семейству, а кривые и ко второму.

Можно рассматривать эти асимптотические кривые как инвариантные кривые в смысла главы XXVII, если принять одно из двух следующих

условий. Вернемся к рис. 7; мы видим кривую имеющую последовательные последующие Тогда, если мы условимся рассматривать пять кривых то это множество, очевидно, составит инвариантную кривую. Или же если мы условимся рассматривать последующие только кратные пяти и назвать последующей ту, которую до сих пор называли последующей, то ясно, что кривая рассматриваемая сама по себе, будет инвариантной кривой.

Две кривые одного и того же семейства не могут пересечься. В самом, деле, либо эти две кривые будут сходиться в одной и той же периодической точке, например в точке тогда эти две кривые совпадут (поскольку через проходит в качестве кривой первого семейства только вместе с ее продолжением тогда вадача сводится к тому, чтобы узнать, может ли асимптотическая кривая иметь двойную точку; этот вопрос был решен отрицательным образом , стр. 168).

Либо эти две кривые будут сходиться в двух периодических точках одной и той же периодической системы, например в двух точках Если бы две кривые, которыми будут тогда имели общую точку то предшествующая точки должна была бы при очень большом одновременно быть очень близкой к потому что принадлежит и очень близкой к потому что принадлежит Это опять абсурдно.

Либо, наконец, две кривые сходятся в двух точках, принадлежащих двум различным периодическим системам. Предположим, например, что две кривые принадлежат первому семейству и что их точка пересечения.

предшествующая точки при очень большом должна одновременно быть очень близкой к одной из точек первой периодической системы и к одной из точек второй системы; это опять невозможно.

Напротив, нет оснований, чтобы две асимптотические кривые различных семейств не пересекались.

Пусть два неустойчивых периодических решения; соответствующие замкнутые траектории, соответствующие периодические системы.

Пусть — две асимптотические поверхности, проходящие соответственно через и пересекающие полуплоскость по двум асимптотическим кривым , одна из которых первого, а другая — второго, семейства.

Что произойдет, если имеют общую точку Две поверхности пересекутся по траектории которая будет соответствовать некоторому достопримечательному решению Траектория будет принадлежать двум асимптотическим поверхностям, так что при она приблизится к Г, а при она приблизится к При очень большом предшествующая точки будет очень близкой к одной из точек системы Р, а ее последующая будет очень близкой к одной из точек системы Р.

Следовательно, решение а является двояко-асимптотическим.

Все эти следствия не имеют ничего абсурдного.

Но необходимо различать два случая. Либо два решения совпадают, так что траектория сначала очень близкая к траектории значительно удаляется от нее, а затем снова приближается к этой же самой траектории Тогда я смогу сказать, что решение а является гомоклинным. Либо отличается от от тогда я буду говорить, что а является гетероклинным.

Существование гомоклшшых решений скоро будет доказано; существование гетероклинных решений остается сомнительным, по крайней мере, в случае задачи трех тел.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление