Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Оценка равномерного относительного уклонения средних в двух подвыборках

При получении оценки равномерного относительного уклонения средних в двух подвыборках будем полагать, что на полной выборке

для множества произвольных функций выполняется условие

где — значения реализации (10.4).

Условие (10.16) выражает априорную информацию о возможных выбросах на полной выборке (10.15). Это условие аналогично условию, рассмотренному в § 6 гл. VII. Так же, как и в главе VII, введем функцию

где отношение числа точек полной выборки (10.15), для которых на реализации (10.4) выполнено условие ко всем точкам. Для функции так же как и для функции (см. главу VII) справедливо соотношение

где

Обозначим

Справедлива следующая

Теорема 10.3. Пусть выполнено условие (10.16) и класс функций имеет емкость Тогда справедлива оценка

Доказательство. Для доказательства теоремы мы воспользуемся утверждением теоремы 10.2, согласно которому справедлива оценка

где частота события вычисленная по обучающей последовательности, частота события вычисленная на рабочей выборке по реализации (10.4), частота события вычисленная на полной выборке (10.15) по реализации (10.4).

Покажем, что из справедливости неравенства (10.20) следует справедливость неравенства

Для этого запишем в виде интеграла Лебега выражение

где

Пусть теперь имеет место неравенство

Тогда

Таким образом, из справедливости (10.20) следует выполнение (10.21).

Для доказательства теоремы нам осталось воспользоваться неравенствами (10.17) и (10.21). Действительно,

Теорема доказана.

Получим теперь равномерную оценку риска на рабочей выборке. Для этого ограничим правую часть (10.19) величиной В результате получим неравенство

наименьшее решение которого обозначим х.

Учитывая представление (10.18) из (10.19), получаем, что с вероятностью справедливо неравенство

где

Неравенство (10.23) мы и используем при построении алгоритмов упорядоченной минимизации суммарного риска. Ниже мы ограничимся лишь линейным по параметрам классом функций

Емкость этого класса функций равна

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление