Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ П3. Метод регуляризации

Метод регуляризации был предложен А. Н. Тихоновым в 1963 г.

Пусть необходимо решить операторное уравнение

заданное непрерывным взаимно однозначным из оператором И пусть решение существует.

Введем в рассмотрение непрерывный функционал который назовем стабилизатором и который обладает следующими тремя свойствами:

1) решение операторного уравнения принадлежит области определения функционала

2) на области определения функционал принимает вещественные неотрицательные значения;

3) все множества

являются компактами.

Идея метода регуляризации состоит в том, чтобы найти решение как элемент, минимизирующий некоторый функционал, но не функционал

(такая задача была бы эквивалентна решению уравнения и потому тоже некорректна), а «исправленный» функционал

с параметром регуляризации Задача минимизации функционала устойчива, т. е. близким функциям соответствуют близкие элементы и минимизирующие функционалы Проблема состоит в том, чтобы установить, в каком соотношении должны находиться величины чтобы последовательность решений регуляризованных задач сходилась при 8-0 к решению операторного уравнения Эти соотношения устанавливает следующая теорема.

Теорема П. 1. Пусть метрические пространства, и пусть для существует решение уравнения Тогда, если вместо точной правой части уравнения известны приближения такие, что а значения параметра у выбираются так, что

то элементы минимизирующие функционалы на сходятся к точному решению при

Доказательство теоремы использует следующий факт: для всякого фиксированного и любого существует элемент минимизирующий на функционал

Пусть у и S удовлетворяют соотношению Рассмотрим последовательность элементов минимизирующих и покажем, что имеет место сходимость

По определению имеем

Учитывая, что

заключаем

Так как выполнены условия то все элементы ряда для достаточно малых принадлежат компакту где а их образы сходятся:

Отсюда на основании леммы заключаем, что сходятся и прообразы

что и требовалось доказать.

В гильбертовом пространстве для линейного оператора А функционал может быть взят равным И хотя множества при этом оказываются слабо компактными, сходимость регуляризованных решений в силу свойств гильбертова пространства, как будет показано ниже, оказывается сильной. Такой выбор регуляризующего функционала удобен еще и тем, что область его определения совпадает со всем пространством Однако в этом случае условия на параметр у более жесткие, чем в теореме у должно стремиться к нулю медленнее, чем Итак, справедлива теорема.

Теорема П.2. Пусть гильбертово пространство и Тогда при удовлетворяющем соотношениям регуляризованные элементы сходятся при к точному решению в метрике пространства

Доказательство. Из геометрии гильбертовых про странств известно, что сфера является слабым компактом и что из свойств слабой сходимости элементов к элементу и сходимости норм вытекает сильная сходимость

Кроме того, из слабой сходимости вытекает

Используя эти свойства гильбертова пространства, докажем теорему. Для этого заметим, что для слабой сходимости в пространстве справедлива предыдущая теорема: слабо сходятся к при

Поэтому, согласно , справедливо неравенство

С другой стороны, учитывая то, что и то, что получаем

Следовательно, имеет место сходимость норм

а это вместе с фактом существования слабой сходимости влечет в силу свойств гильбертова пространства сильную сходимость

что и требовалось доказать.

Приведенные теоремы являются центральными в теории регуляризации. С их помощью устанавливается

принципиальная возможность решения некорректных задач. Однако при решении практических задач вопросы сходимости последовательности регуляризованных решений не являются наиболее актуальными. Обычно правая часть операторного уравнения задана с конечной точностью и проблема заключается в том, чтобы определить величину константы регуляризации при которой будет обеспечено наилучшее приближение к искомому решению. Для этой ситуации утверждения теорем где величина у определяется с точностью до константы и то при достаточно малых б), являются явно недостаточными.

В настоящее время нет сколько-нибудь надежных методов выбора константы регуляризации. Однако имеются многочисленные примеры того, что при надлежащем выборе константы у могут быть получены достаточно хорошие приближения к решению некорректных задач.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление