Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Алгоритм восстановления регрессии в классе полиномов

Рассмотрим алгоритмы восстановления одномерной функциональной зависимости по эмпирическим данным

в классе линейных по параметрам функций

Будем считать, что функции

априорно ранжированы, т. е. задана структура

элемент которой есть множество функций

В этом случае проблема сводится к отысканию такого элемента структуры (12.8) и функции минимизирующей в эмпирический риск, для которых достигается минимум функционала

Минимум эмпирического риска

вычисляется с помощью стандартных приемов линейной алгебры: вектор параметров аэру равен

где вектор значений — матрица,

Проблема обращения матрицы типа изучена достаточно подробно. (См., например, [63], [59].) В качестве алгоритма обращения матрицы может быть использован любой из рекомендованных там алгоритмов.

Таким образом, единственная проблема, которая возникает при реализации рассмотренной схемы, — определить, какую систему функций (12.7) использовать.

Восстанавливать функцию будем в классе полиномов, т. е. положим, что есть полином степени

С принципиальной точки зрения безразлично, как заданы полиномы (лишь бы коэффициенты при старших степенях были отличны от нуля). Поэтому часто считают, что С вычислительной же точки зрения удобно выбирать систему ортонормальных на точках обучающей последовательности функций

, т. е. таких, для которых

Для такой системы функций матрица единичная и вектор параметров вычисляется без использования операции обращения матрицы

Итак, определен алгоритм 12-1 восстановления одномерных функциональных зависимостей в классе полиномов.

В главе IX было установлено, что приближение к искомой функции в классе полиномов можно гарантировать лишь в интегральном смысле, в то время как в классе кусочно-полиномиальных зависимостей можно добиться не только интегрального приближения, но и равномерного приближения на всем отрезке определения функции. Оказывается (это будет показано в следующем параграфе), что в вычислительном отношении задача построения приближения функции в классе кусочно-полиномиальных зависимостей немногим сложнее приближения в классе полиномов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление