Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Оценивание параметров плотности вероятностей методом максимума правдоподобия

В этом параграфе, используя метод максимума правдоподобия, мы найдем оценки параметров распределения вероятностей для закона

и параметров плотности нормального закона

При этом окажется, что для закона Р (я параметры равны если

где число векторов выборки, у которых координата принимает значение

Оценки параметров нормального закона, вычисленные методом максимума правдоподобия, равны

Таким образом, получаем оценку нормального закона

1°. Оценим параметры закона Для этого составим функцию правдоподобия:

где значение координаты вектора выборки.

Изменив порядок сомножителей, получим

Перейдем теперь к функции

Рассмотрим величину

Она может быть представлена в виде

где число векторов выборки, у которых координата принимает значение

Таким образом,

Найдем теперь максимум по функции (3.60) при ограничениях

Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

где множители Лагранжа.

Вектор доставляющий максимум функции определяется из системы уравнений

Из (3.62), учитывая условия нормировки

получим

Заметим, что здесь оценка максимума правдоподобия оказалась несмещенной.

2°. Оценим теперь параметры нормального закона:

Составим функцию правдоподобия:

где обозначено

Найдем ее логарифм:

Запишем

Здесь использовано соотношение

Из уравнений (3.63) и (3.64) находим

Оценка параметров ковариационной матрицы является смещенной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление