Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Устойчивость законов Гаусса и Лапласа

Покажем, что законы Гаусса и Лапласа являются, каждый в своем классе, устойчивыми. Как указывалось в предыдущем параграфе, для этого достаточно показать, что в соответствующих классах плотностей законы Гаусса и Лапласа доставляют минимум величине информационного количества Фишера (4.45).

Для тех конкретных классов которые будут рассмотрены ниже, эта задача оказывается задачей неклассического вариационного исчисления (класс задается ограничениями типа неравенств). Поэтому здесь мы не будем получать гипотетические плотности регулярным способом, т. е. решать неклассические вариационные задачи, а укажем решения и затем установим, что они действительно определят седловую точку функции

Иначе говоря, надо будет проверить, что для указанной плотности выполняются неравенства

Заметим, что, согласно (4.41), всегда имеет место одно из неравенств, а именно:

Таким образом, для доказательства оптимальности выбранной стратегии достаточно установить справедливость неравенства

Рассмотрим следующие классы плотностей.

1. Класс плотностей с ограниченной дисперсией. Соответствующая вариационная задача состоит 8 Том, чтобы минимизировать функционал (4.45) в классе

функций, удовлетворяющих условиям:

Условия 1), 2), 3) определяют плотность помехи, условие 4) — ограниченность дисперсии. Решением этой неклассической (вследствие 1) и вариационной задачи будет плотность

Действительно, подставим

в неравенство (4.47). Получим

Неравенство (4.49) справедливо для любой плотности из (4.48), так как класс (4.48) состоит из плотностей, для которых величина дисперсии не превосходит Таким образом, нормальный закон плотности распределения вероятностей с нулевым средним и дисперсией является устойчивым законом в классе всех плотностей с дисперсией, ограниченной величиной

2. Рассмотрим теперь класс невырожденных плотностей. Этому классу принадлежат такие плотности, для которых Покажем, что устойчивым законом в этом классе плотностей будет закон Лапласа.

Для этого подставим

Получим

или, что то же самое,

А так как в класс входят плотности, у которых то неравенство (4.47) выполнится для любых функций класса.

Таким образом, закон Лапласа, является устойчивым законом в классе плотностей, для которых

Устойчивость законов Гаусса и Лапласа (каждого в своем классе) является фактом не менее замечательным, чем экстремальные свойства этих законов, установленные в § 4.

Итак, законы Гаусса и Лапласа устойчивы. Однако классы плотностей, в которых они устойчивы, часто оказываются слишком широкими. И тогда более содержательная статистическая модель должна быть построена на основе других более узких классов плотностей.

Ниже в §§ 8, 9 мы рассмотрим некоторые конкретные классы плотностей и получим для них устойчивые плотности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление