Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Задача интерпретации результатов косвенных экспериментов

В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу восстановления регрессии. Было показано, что к этой задаче сводится проблема интерпретации результатов прямых экспериментов, т. е. таких экспериментов, с помощью которых в фиксированных точках измеряется интересующая нас зависимость. Однако часто бывает так, что искомую функцию нельзя измерить ни в одной точке В то же время может оказаться доступной измерению другая функция которая связана с операторным уравнением

Требуется по результатам измерений функции в точках найти в классе решение уравнения (1.10). Такую задачу будем называть задачей интерпретации результатов косвенных экспериментов.

Постановка задачи состоит в следующем: задан непрерывный оператор взаимно однозначно отображающий элементы метрического пространства в элементы метрического пространства Требуется найти решение операторного уравнения (1.10) в классе функций

а), если функция неизвестна, но зато даны измерения функции в точках

Так же, как и при интерпретации прямых измерений, здесь эксперимент по измерению функции не содержит систематических погрешностей, т. е. , а случайные величины независимы. Кроме того, для простоты будем считать, что области задания функций и отрезки [0, 1]. Эксперимент является открытым: точки х, в которых проводятся измерения функции задаются на отрезке [0, 1] случайно и независимо, согласно равномерной плотности распределения вероятностей.

Задача интерпретации результатов косвенных экспериментов также сводится к проблеме минимизации среднего риска по эмпирическим данным.

В самом деле, рассмотрим функционал

Совершенно аналогично преобразованиям, проведенным в § 3, получаем

где обозначено

Здесь, так же как и в аналогичном случае предыдущего параграфа, третье слагаемое суммы равно нулю, откуда заключаем, что минимум функционала

достигается на решении операторного уравнения (1.10).

Таким образом, мы опять пришли к схеме минимизации среднего риска (1.4) по эмпирическим данным. В этой задаче функция потерь такова, что:

1) вектор состоит из двух координат у их, каждая из которых может принимать значения из интервала

2) функция потерь задана в виде

Особенность же интерпретации результатов косвенных экспериментов состоит в том, что ищется функция а, минимизирующая функционал (1.11) в условиях, когда задача решения операторного уравнения

может быть некорректно поставленной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление