Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI. ТЕОРИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ЧАСТОТ К ВЕРОЯТНОСТЯМ

§ П.1. Достаточные условия равномерной сходимости частот к вероятностям

Согласно классической теореме Бернулли частота появления некоторого события А сходится (по вероятности) в последовательности независимых испытаний к вероятности этого события. Часто, однако, возникает необходимость судить одновременно о вероятностях целого класса событий S по одной и той же выборке. При этом требуется, чтобы частоты сходились к вероятностям равномерно по всем событиям класса S. Точнее, требуется, чтобы вероятность того, что максимальное по классу уклонение частоты от вероятности превзойдет заданную сколь угодно малую положительную константу, стремилась к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.

Оказывается, что даже в простейших примерах равномерная сходимость может не иметь места. Поэтому нужен критерий, позволяющий судить, есть ли такая сходимость.

Пусть X — множество элементарных событий, на котором задана вероятностная мера Пусть — некоторая совокупность случайных событий, т. е. подмножеств пространства, измеримых относительно меры включается в -алгебру случайных событий, но не обязательно совпадает с ней). Обозначим через пространство случайных независимых выборок из X длины

Для каждой выборки и события определена частота выпадания события равная отношению числа элементов выборки, принадлежащих к общей длине выборки

Теорема Бернулли утверждает, что при фиксированном событии уклонение частоты от вероятности стремится к нулю (по вероятности) с ростом объема выборки, т. е. для любого х

Нас же будет интересовать максимальное по классу S уклонение частоты от вероятности:

Величина является функцией точки в пространстве Будем предполагать, что эта функция измерима относительно меры в т. е. что есть случайная величина. Дальнейшие теоремы посвящены оценкам вероятности события

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление