Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Особенности задач восстановления зависимостей

Итак, выше мы установили, что все три задачи восстановления зависимостей сводятся к одной и той же схеме — схеме минимизации среднего риска, и что возможно лишь приближенное решение задачи минимизации среднего риска по эмпирическим данным. Спрашивается, обеспечит ли приближенное решение задачи нужную близость найденной зависимости к истинной?

Ответ на этот вопрос различен для разных задач восстановления зависимостей. Для задачи обучения распознавания образов ответ безусловный — да, обеспечит просто по определению (ведь согласно постановке требуется найти функцию, доставляющую функционалу величину, близкую к минимальной).

В задаче восстановления регрессии ответ не столь определенный. Легко можно показать, что если близость функций понимать в смысле метрики то из близости функционала к минимальному следует близость найденной функции к регрессии.

Доказательство этого утверждения немедленно вытекает из тождества

где регрессия, — любая функция из заданного класса.

Однако из того, что значение функционала близко к минимальному, никак не следует близость в смысле метрики С соответствующей функции к регрессии. Чтобы гарантировать такую близость, просто минимизации функционала уже недостаточно. Необходимо, кроме того, удовлетворить еще и некоторым специальным требованиям.

Наконец, в задаче интерпретации результатов косвенных экспериментов близость функционала к минимальному не гарантирует близость восстанавливаемой функции к истинной ни в метрике ни в метрике С. Основная трудность при решении этой задачи как раз и состоит в том, что решение соответствующего операторного уравнения есть, возможно, задача некорректно поставленная, а в этом случае функции, доставляющие функционалу значения, близкие к минимальному, могут сколь угодно сильно отличаться от искомого решения. Поэтому главная проблема здесь состоит в том, чтобы установить, каким дополнительным условиям должно удовлетворять выбираемое решение, чтобы из того, что оно доставляет функционалу значение, близкое к минимальному, следовала бы близость решения к искомой функции.

Таким образом, несмотря на то, что для всех задач восстановления зависимостей функции, доставляющие точный минимум функционалу, определяют решение, приближенная минимизация не всегда приводит к цели. Поэтому прежде, чем применить конкретный метод минимизации среднего риска по эмпирическим данным, необходимо убедиться, что этот метод минимизации обеспечит приближение к искомому решению.

В последующих главах будут рассмотрены различные методы минимизации среднего риска по эмпирическим данным. Все они будут изучены применительно к каждой конкретной задаче восстановления зависимостей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление