Главная > Математика > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Определение понятия сходимость

Пусть в выбрана мера близости функции и зафиксирован алгоритм восстановления зависимости по косвенным экспериментам

Тогда для каждой конкретной реализации (9.4) может быть найдена функция вектор параметров и, таким образом, получена последовательность

Эта последовательность определяет последовательность чисел

задающих расстояния от параметров а до Как (9.5), так и (9.6) являются случайными последовательностями, которые порождаются алгоритмом А восстановления зависимости и реализацией (9.4). Исследование алгоритмов восстановления зависимостей сводится, таким образом, к исследованию сходимости последовательности (9.6).

Существуют различные понятия сходимости случайных последовательностей. В этой главе мы используем два понятия: сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью единица (почти наверное).

Определение 1. Последовательность случайных величин сходится к величине по вероятности, если, каково бы ни было вероятность выполнения неравенства

при стремится к единице, т. е.

Факт сходимости по вероятности записывается так:

Определение 2. Последовательность случайных величин сходится к величине с вероятностью единица, если, каково бы ни было вероятность выполнения неравенства

стремится к единице при т. е.

Сходимость с вероятностью единица (почти наверное) принято обозначать так:

Приведенные определения отражают различные требования к понятию сходимости.

В первом случае событие выделяет множество последовательностей, для которых выполняется условие Для заданного фиксированного При этом каждая последовательность с ростом I может то удовлетворять этому условию, то не удовлетворять ему. Сходимость по вероятности есть в некотором смысле «слабая» сходимость — она не дает никаких гарантий того, что каждая конкретная реализация сходится в обычном смысле.

Напротив, сходимость с вероятностью единица есть понятие «сильной» сходимости. Оно означает, что почти все реализации сходятся в обычном смысле. Сходимость почти наверное может быть определена еще и так.

Определение 2а. Последовательность случайных величин сходится с вероятностью единица к если мера множества реализаций, для которых существует предел

равна единице, т. е.

Легко проверить, что из сходимости с вероятностью единица следует сходимость по вероятности. В самом деле, так как для любого I справедливо неравенство

то из условия

следует

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Дополнительные условия, при которых из сходимости по вероятности вытекает сходимость с вероятностью единица, определяет следующая лемма.

Лемма (Борель — Кантелли). Если для случайной последовательности найдется такое что для любого окажется выполненным неравенство

то последовательность сходится к с вероятностью единица.

Доказательство. Обозначим через событие, состоящее в том, что выполняется неравенство

Рассмотрим событие состоящее в том, что выполнится хотя бы одно из событий

Оценим вероятность этого события

Так как в силу условий леммы ряд (9.7) сходится, то

Рассмотрим теперь событие

Из того, что событие влечет за собой любое из событий в силу (9.8) получаем

Наконец, положим Как нетрудно установить, это событие означает, что найдется такое что для каждого хотя бы при одном

будут выполняться неравенства

Так как

то в силу что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление