Главная > Разное > Резьбовые и фланцевые соединения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Инженерный расчет распределения нагрузки между витками резьбы

Общие замечания. Расчет выполняют, используя простейшую модель формы детали (болта, гайки) в виде стержня. Упрощенная схематизация реальной детали осуществляется путем уеловного

разделения ее деформаций на общие (растяжение и сжатие тел болта и гайки) и местные (изгиб и сдвиг витков резьбы). При этом осевое смещение точки витка в некотором сечении представляется в виде алгебраической суммы перемещений:

где перемещение сопряженных точек витков болта и гайки в результате растяжения и сжатия их тел (знак плюс показывает, что перемещения происходят в направлении местных осей); то же в результате изгиба и сдвига витков относительно тел болта и гайки.

Так как вектор контактных сил (напряжений) направлен «в тело», то сопряженная точка витка гайки смещается в направлении местной оси, а сопряженная точка витка болта — в противоположном направлении (это показывает знак минус в первом соотношении). Решения, основанные на идеализированной схеме, позволяют объяснить ряд известных фактов (поломки первых рабочих витков, преимущества гаек растяжения и т. д.).

Впервые задача о распределении нагрузки по виткам резьбы была решена Н. Е. Жуковским (по предложению А. И. Сидорова) еще в 1902 г. Предполагая для упрощения, что гайка имеет бесконечное число витков прямоугольного профиля, работающих на срез, Н. Е. Жуковский получил следующую зависимость между силами, действующими на три соседние пары контактирующих витков болта и гайки:

где а — параметр, зависящий от размеров резьбы и материала болта и гайки.

Это уравнение является исходным для получения точного и приближенного решения задачи. Н. Е. Жуковским для упрощения было развито приближенное незамкнутое решение. Позднее подобные решения получены за рубежом Мадушкой и др.

Опишем решение задачи, полученное И. А. Биргером [3]. Основное его отличие состоит в том, что резьбовое соединение рассматривается не как сововокупность кольцевых выступов, а как соединение с непрерывно идущими витками. Такое рассмотрение, более близкое к действительности, позволило отказаться от использования уравнений в конечных разностях и применить дифференциальные уравнения, решение которых можно легко получить в замкнутой форме.

Решение задачи о распределении нагрузки по виткам резьбы можно использовать в ряде подобных задач, например при

Рис. 4.3. Расчетная модель соединения по Н. Е. Жуковскому: а - до деформации; после деформация

расчете замков турбинных лопаток, сварных, паяных и клеевых соединений и т. п.

Уравнение совместности перемещений. Используя модель Н. Е. Жуковского, заменим резьбовое соединение типа болт—гайка идеализированной конструкцией (рис. 4.3).

Считаем, что под действием нагрузки тело болта на участке размером удлиняется на а тело гайки на участке укорачивается на При этом витки резьбы подвергаются деформации изгиба и сдвига. Обозначим осевое смещение средней точки профиля витка болта относительно своего основания а витка гайки

Принимая, что витки резьбы изготовлены идеально точно, запишем уравнение совместности перемещений (см. рис. 4.3). Для этого достаточно определить расстояние между точками контакта витков в сечениях сопоставляя деформации в болте и гайке:

Уравнение (4.14) имеет ясный физический смысл: алгебраическая разность осевых деформаций тел болта и гайки компенсируется разностью прогибов витков, обусловливающей неравномерное распределение нагрузки между витками резьбы. При абсолютно жестких стержне болта и теле гайки нагрузка по виткам распределяется равномерно.

Заметим, что для метрической резьбы расчетная схема усложнена поперечными деформациями стержня болта и тела гайки. Эти деформации приводят к образованию зазора между витками, который также компенсирует разность осевых деформаций.

Уравнение (4.14), полученное из дискретной схемы соединения (см. рис. 4.3), остается справедливым и при схеме с непрерывно идущими витками, которая используется в дальнейшем.

Для вывода закона распределения нагрузки по виткам резьбы выразим условие (4.14) через силовые факторы.

Рис. 4.4. Схема действия напряжений в соединении типа болт—гайка

Рис. 4.5. Эпюры напряжений на рабочей поверхности и в основании витка резьбы

Предположим, что в произвольном поперечном сечении тела болта действует напряжение (рис. 4.4), значение которого изменяется по координате В теле гайки возникают напряжения сжатия Принимая, что напряжения распределены по поперечному сечению равномерно, можно записать

где модули упругости материала болта и гайки.

На боковой поверхности витка действует давление распределенное (вообще говоря) по неизвестному закону (рис. 4.5). К поверхности стержня болта приложены нормальные а и касательные напряжения.

Действие напряжений а, вызывающих общее сжатие боковой поверхности тела болта и некоторую волнистость поверхности из-за поворота основания витков, которой можно пренебречь, эквивалентно действию на поверхности стержня болта некоторого среднего напряжения

вызывающего сжатие тела болта в поперечном направлении.

При точном решении задачи уравнение (4.14) должно быть справедливо для любой точки боковой поверхности витка и соответствующих точек боковой поверхности тела болта и гайки.

В приближенном решении ограничимся требованием, чтобы уравнение (4.14) было справедливо для точки М — середины боковой поверхности профиля (см. рис. 4.5) и точки О — середины основания витка.

В связи этим под в уравнении (4.14) следует понимать сумму вертикальной составляющей перемещения точки М относительно точки О в результате деформаций изгиба и сдвига витка, а также образования зазора в вертикальном (осевом) направлении вследствие поперечного перемещения основания витка.

Если предположить, что давление постоянно вдоль рабочей грани и каждый виток деформируется изолированно от других, а деформация болта и гайки в поперечном направлении зависит лишь от напряжения соответствующего данному сечению, то величины номер детали) при сделанных допущениях можно выразить формулой

где безразмерные коэффициенты, завиеящие от геометрических параметров резьбы и всего соединения.

Для метрической резьбы эти коэффициенты можно вычислить по формулам:

Если болт имеет центральное отверстие диаметром то

где безразмерный коэффициент, учитывающий влияние деформаций изгиба и сдвига на податливость витков (для метрической и дюймовой резьбы диаметр круглой гайки (размер под ключ); и коэффициенты Пуассона для материалов болта и гайки.

Несложно заметить, что первые слагаемые в соотношениях учитывают смещения точки витка относительно середины его основания в результате изгиба и сдвига витка, вторые — то же в результате радиальной деформации болта и гайки как толстостенных труб.

С учетом формул (4.15) и (4.17) основные уравнение (4.14) можно записать в виде

Рис. 4.6. Схема распределения осевых сил в соединении

Это уравнение можно значительно упростить, если ввести в рассмотрение величину интенсивности распределенной осевой нагрузки по высоте резьбы

где сила, растягивающая стержень болта или сжимающая тело гайки в сечении

Таким образом, величина это сила, приходящаяся на единицу длины соединения (рис. 4.6). По физическому смыслу силы заменяют касательные напряжения (см. рис. 4.5), уравновешивающие в совокупности силу

Заметим, что величина характеризует распределение нагрузки по виткам резьбы. Нагрузку на виток, расположенный между сечениями можно вычислить по формуле

Если нагрузка между витками распределена равномерно, то

Рис. 4.7. Зависимость коэффициента 0 от отношения при

Между давлением на боковой поверхности витка и нагрузкой существует связь:

где проекция боковой поверхности витка на плоскость, перпендикулярную оси средний диаметр резьбы; высота профиля резьбы).

Напряжения в теле болта и теле гайки

где площадь поперечных сечений соответственно болта и гайки.

С учетом этих формул уравнение (4.21) можно записать в виде

Обозначая

получаем

Дифференцируя дважды по z уравнение (4.30), находим

где

Зависимость безразмерного коэффициента 0 от отношения приведена на рис. 4.7. Приближенное значение 0 при можно вычислить по формуле

Рис. 4.8. Схема распределения нагрузки в соединении типа болт—гайка

Уравнение (4.31) представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через интенсивность распределения осевых сил. При учете коэффициента Пуассона это уравнение содержит также производную первого порядка.

Уравнение (4.31) остается справедливым и для резьбовых соединений других типов, а также для резьбового соединения с произвольным профилем резьбы как геометрическое условие неразрывности (совместности) деформаций.

При нелинейной зависимости податливости витков от давления

уравнение (4.31) является нелинейным. С такими зависимостями приходится сталкиваться при учете контактных деформаций микронеровностей поверхности или в специальных резьбах, для уменьшения трения в которых контакт осуществляется при помощи тел качения.

Закон распределения нагрузки по виткам соединения типа болт—гайка. Общий интеграл уравнения (4.31)

где произвольные постоянные.

Граничные условия задачи можно получить из уравнения (4.31) (рис. 4.8):

С учетом краевых условий (4.34) из уравнения (4.33) получаем

Из анализа этой формулы следует, что нагрузка в резьбовом соединении типа болт—гайка возрастает к нижним виткам по закону гиперболического косинуса.

Формула (4.35) отражает качественные особенности задачи. Если принять, что тело болта и гайки абсолютно жесткие в отношении растяжения и сжатия, то нагрузка будет равномерно распределяться между витками, т. е.

Рис. 4.9. Схема распределения нагрузки в соединении типа стяжки

Закон распределения нагрузки в соединении типа стяжки. Рассмотрим широко распространенное на практике резьбовое соединение типа стяжки (рис. 4.9). Для такого соединения

где сила, растягивающая внутреннюю деталь (болт) в сечении величина соответствует деформации растяжения гайки, ранее в уравнении (4.14) она обозначала деформацию сжатия.

С учетом равенств (4.36) уравнение (4.28) имеет вид

Дифференцируя дважды по z и применяя прежние обозначения, получаем

Граничные условия задачи для стяжки легко устанавливаются из уравнения (4.37) после его дифференцирования по

С учетом этих условий

Для абсолютно жестких на растяжение и сжатие деталей соединения, т. е. для малых из формулы (4.39) следует

Из равенства (4.39) находим

откуда

Так как то из равенства (4.41) следует, что в резьбовом соединении типа стяжки максимальное значение соответствует наиболее нагруженному сечению той детали, жесткость которой меньше. Таким образом, в зависимости от соотношения жесткостей деталей соединения наибольшая нагрузка может быть в сечении или в сечении

Расстояние до сечения (см. рис. 4.9), в котором принимает минимальное значение, определяется из уравнения (4.39) по обычным правилам нахождения минимума

Заметим, что при а при

Из формулы (4.41) следует также, что при

Последнее соотношение является оптимальным, поэтому при практическом выполнении резьбового соединения типа стяжки не следует стремиться к большой площади охватываемой детали, так как это ухудшает распределение нагрузки. Действительно, при

и максимальная нагрузка получается такой же, как для соединения типа болт—гайка при площади гайки, стремящейся к бесконечности.

В оптимальном случае при из формулы (4.35) и (4.40) следует:

где индекс соответствует соединению типа болт—гайка, индекс соединению типа стяжки.

Рис. 4.10. Схемы соединений, работающих по принципу стяжки

Для гайки обычными размерами и постоянным сечением это отношение близко к двум. При использовании в соединении типа стяжки гайки переменного сечения это отношение будет больше двух.

Из этого следует также, что резьбовое соединение шпилька—корпус, которое можно рассматривать как принадлежащее в равной мере к соединениям типа стяжки или болт—гайка, более рационально с точки зрения прочности шпильки конструировать так, как показано на рис. 4.10, а. На рис. 4.10, б, в приведены конструкции соединений с гайками, работающими по принципу стяжки.

При затяжке резьбового соединения тело гайки и стержень болта подвергаются не только осевой деформации, но и кручению. Однако результаты расчетов показывают, что влияние крутящего момента на распределение нагрузки по виткам резьбы невелико и может не приниматься во внимание.

Распределение нагрузки по виткам резьбового соединения с более общими граничными условиями изучено в работе [3].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление