Главная > Разное > Резьбовые и фланцевые соединения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Уточненный расчет резьбовых соединений

Общие замечания. Применение простейших моделей формы деталей (стержней, оболочек и др.) позволяет получать замкнутые решения, облегчающие общий анализ работы соединений. Однако при этом не удается полностью учесть реальной формы и условий нагружения деталей, сложного напряженного состояния и характера сопряжения частей деталей (например, резьбы и тела болта и т. п.).

В последние годы при расчетах элементов конструкций широко применяют различные численные методы, основанные на замене непрерывной модели тела ее дискретным аналогом с конечным числом неизвестных [9].

Для расчета деталь покрывают специальной сеткой (разбивают на элементы), аппроксимирующей контур и тело (рис. 4.11). Точки пересечения линий сетки называют узлами.

Зависимость смещений узлов сетки от действующих сил имеет

Рис. 4.11. Сеточная разметка и схема распределения напряжений в резьбовом соединении

где К — матрица жесткости; векторы-столбцы узловых перемещений и сил (внешних и контактных):

здесь — соответственно общее число узлов в модели и число узлов, в которых заданы внешние силы.

Из уравнения (4.42) следует, что перемещения узлов детали

где обращенная матрица жесткости (матрица податливости).

Уравнение (4.43) равносильно системе линейных алгебраических уравнений, выражающих зависимость перемещений узлов модели от действующих сил. Каждое уравнение системы имеет вид

где коэффициенты матрицы податливости (функции влияния), которые показывают перемещение узла от единичных сил, приложенных соответственно в узлах

Таким образом, зависимость (4.44) учитывает влияние всех сил на перемещение узла.

Наиболее просто матрица жесткости К и, как следствие, матрица податливости к формируются в методе конечных элементов 19]. Благодаря этому метод конечных элементов (МКЭ) наиболее широко применяется в инженерных расчетах деталей машин и элементов конструкций.

Матрица жесткости конечно-элементной модели

зависит от параметров упругости материалов деталей, их формы и характера кодировки (сеточной разметки).

Некоторый элемент входящий в эту матрицу, определяет реакцию в узле от единичного перемещения узла при неподвижных других узлах. Он имеет блочную структуру, аналогичную структуре вектора смещений.

После определения перемещений узлов от заданных сил по уравнению (4.43) находят деформации и напряжения в каждом узле модели. Соотношения связи между деформациями и перемещениями в осесимметричной модели имеют вид

где — перемещения узла в направлении осей соответственно.

Напряжения в элементах в соответствии с законом Гука

где матрица упругости

Рис. 4.12. Схема аппроксимации непрерывной функции

а компоненты векторов напряжений и деформаций (индекс свидетельствует об операции транспонирования)

Математические основы МКЭ, а также особенности его реализации на даны в работах Рассмотрим особенности расчета соединений при использовании конечно-элементных моделей формы деталей.

Расчет соединений методом конечных элементов. Для расчета распределения нагрузки между витками резьбы используют уравнения (4.1) и (4.13). Неизвестную функцию распределения контактных напряжений заменяют «ступенчатой» функцией с постоянными напряжениями в каждой ступени (рис. 4.12). В этом случае узловая сила в осесимметричной модели

где контактное напряжение в узле; радиус узла; ширина ступени.

В сопряженных контактирующих узлах силы равны, т. е.

Осевая составляющая суммы узловых сил равна внешней силе на болт. Следовательно,

где а — угол профиля резьбы.

Коэффициенты матрицы податливости X можно находить обращением матрицы жесткости К. В практических расчетах эти коэффициенты определяют по уравнению (4.42), считая единичную нормальную силу приложенной последовательно в каждом контактирующем узле. Коэффициент податливости Хи-го узла находят по осевому и радиальному перемещению этого узла от единичной нормальной силы, приложенной в этом же узле:

Аналогично вычисляют коэффициент податливости в этом узле от единичной силы, приложенной в узле (функция влияния).

Нормальное перемещение узла I от контактных сил на всех витках резьбы

Для получения единственного решения при вычислении функций влияния необходимо закрепить деталь, например, в начале местной системы координат. Деталь можно закреплять в узлах, к которым приложена внешняя сила . В этом случае отпадает необходимость определения функций влияния внешней силы на перемещения контактирующих точек.

Если в результате расчета окажется, что фактические площадки контакта меньше рабочих поверхностей витков, то размеры площадок контакта можно определить по методу последовательных приближений из обычных для контактных задач условий: равенства нулю контактных давлений вне зоны контакта.

После решения контактной задачи и определения сил в узлах витков по уравнению (4.42) находят перемещения, затем вычисляют деформации и напряжения в узлах модели при заданных силах (внешней и контактных).

Контактные напряжения (давления) в узлах витков резьбы вычисляют по формуле

вытекающей из соотношения (4.45).

Распределение нагрузки и напряжений в резьбовом соединении. На рис. 4.11 показана разметка соединения с резьбой и приведены результаты расчета с применением МКЭ распределения контактных напряжений на рабочих гранях витков и напряжений во впадинах витков. В расчете распределения напряжений в теле болта, выполненном после решения контактной задачи, принимали, что резьба изготовлена идеально точно, Площади поперечного сечения круглой и шестигранной гаек равны. Канавка резьбы имеет кольцевую форму, гайка и болт являются осесимметричными (трехмерными) телами. Цифры на рисунке показывают наибольшие напряжения в мегапаскалях. Видно, что контактные напряжения (давление) вдоль рабочих граней витков распределяются неравномерно.

Распределение нагрузки между витками еоединения болт-гайка при дано в табл. 4.1. Здесь же для сравнения приведены результаты расчета для случая, когда условия совместности перемещений (4.13) удовлетворялись лишь в сечении среднего диаметра резьбы (нагрузка на рабочих гранях принималась равномерной), а также нагрузки, вычисленные по формуле (4.35).

Из анализа данных таблицы следует, что нагрузки на первый виток в уточненной модели соединения выше, чем в упрощенной, всего на (в зависимости от эпюры давления на рабочих

Таблица 4.1. Нагрузка на отдельные витки

поверхностях витков). Можно отметить также значительное взаимное влияние витков на распределение нагрузки между витками, выявленное при расчете.

Результаты расчетов хорошо согласуются с данными расчетов соединений по МКЭ, выполненных К- Маруямой [40], а также с результатами экспериментальных исследований методами фотоупругости и медных покрытий.

Один из важных факторов, которые должны учитываться при проектировании резьбового соединения — распределение напряжений во впадинах резьбы. Анализ результатов показывает, что в резьбовых соединениях отмечается существенная концентрация напряжений во впадинах резьбы. Наибольшее контурное (главное) напряжение растяжения действует во впадине под первым (от опорного торца гайки) рабочим витком болта в точках сечения, удаленного от центра впадины на угол около 20° в направлении рабочей поверхности этого витка (см. рис. 4.11). Это связано с взаимным влиянием (наложением) концентрации напряжений от изгиба витка и общего поля напряжений растяжения.

Второй рабочий виток воспринимает в 1,6 ... 1,7 раза меньшую нагрузку, чем первый. Однако максимальное контурное напряжение во впадине под вторым витком в 2,5 раза ниже, чем под первым. Это объясняется разгрузкой впадины первого витка.

Теоретический коэффициент концентрации напряжений в резьбовом соединении определяют по отношению к номинальному напряжению в сечении внутреннего диаметра резьбы под первым наиболее нагруженным витком:

где номинальное напряжение,

В соединении со стандартной гайкой при радиусе впадины теоретический коэффициент концентрации напряжений при (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Схема распределения напряжений в свободной части резьбы

Отметим, что значение а может на отличаться от указанного. Это зависит от характера распределения давления вдоль рабочих поверхностей витков и внешней нагрузки.

Глубина проникновения возмущения напряжений от центра впадины в тело стержня невелика — около рабочая высота профиля). Это позволяет отнести резьбу к мелким выточкам (по классификации Г. Нейбера). Однако рассчитывать в резьбовом соединении по формуле Г. Нейбера нельзя, так как она справедлива лишь для растягиваемого стержня с выточкой, имеющей ненагруженный контур (изгиб витков не учитывается).

Напряженное состояние в свободной части резьбы, под опорным торцом гайки (см. рис. 4.13), аналогично обусловленному растяжением стержня с несколькими кольцевыми выточками. Наибольшее напряжение также действует в центральной точке контура впадины. Однако напряжения в этих точках в раза выше, чем для растянутого стержня с выточкой. Указанное обстоятельство объясняется влиянием возмущения напряжений в первом рабочем витке на напряженное состояние под ним. По мере удаления от опорного торца гайки максимальное напряжение в центре впадины приближается к значениям напряжений в стержне с такими же выточками. Однако в дальнейшем наблюдается повышение максимальных напряжений во впадинах витков при сбеге резьбы.

Отметим, что при нескругленных вершинах витков на фаске резьбонакатных роликов теоретический коэффициент концентрации напряжений во впадинах витков сбега резьбы болта может приближаться к значениям в соединении или даже превышать их. Последнее может повлечь преждевременное разрушение соединения по сбегу резьбы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление