Главная > Разное > Резьбовые и фланцевые соединения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2. Расчет соединений с полосовым стыком

Рассмотрим в качестве примера соединение болтом двух фланцев (поясков, лапок) постоянного поперечного сечения (рис. 9.2, а). Допустим, что болт затянут предварительно с силой Соединение нагружено силой и моментом значения которых определяются внешней нагрузкой и конструкцией деталей.

Рис. 9.2. Расчетные схемы болтового (а) и шпилечного (б) соединений с полосовыми стыками

Расчетная модель соединения и основные уравнения задачи. Уравнение равновесия одной из деталей соединения имеет вид (3.1). Для вывода, уравнения совместности деформаций фланцев используем, как и ранее, глобальную систему координат и локальные, жестко связанные со срединной плоскостью каждого из фланцев оси координат номер фланца). В этом случае уравнение совместности деформаций имеет вид (4.11). Если стыковые поверхности фланцев прилегают друг к другу, то координаты сопряженных точек в недеформированном состоянии одинаковы и вектор Выражая векторы перемещений 8 и со через проекции и на ось запишем уравнение (4.11) в форме

Это уравнение показывает, что деформации фланцев компенсируются кинематическими перемещениями, обусловленными местными деформациями.

Примем стержень в качестве модели фланца и допустим, что контактные напряжения постоянны по ширине его сечения и характеризуются распределенными нагрузками

Предположим, что кинематическое перемещение фланцев (сближение локальных осей координат) происходит в результате их сжатия в зоне контакта, а это равносильно введению в стык фланцев условного контактного слоя, податливость которого равна податливости фланцев при сжатии.

Обозначим через и податливости при сжатии фланцев соответственно. Полагая, что упругое перемещение точки контакта в направлении оси определяется распределенной нагрузкой в той же точке, запишем

Рис. 9.3. Схема к выводу условия равновесия элемента стержня

Знак минус свидетельствует о том, что перемещение точки контакта фланца происходит в направлении, противоположном оси Несложно получить

где толщина и ширина фланца; модуль упругости материала фланца. Кинематическое перемещение для линейно-упругого контактного слоя

для нелинейно-упругого контактного слоя

где суммарная податливость фланцев при сжатии? к функция, связанная с податливостью контактного слоя; функция перемещения, зависящая от контактного напряжения.

Для решения контактной задачи используем зависимость перемещений точек детали от действующих сил.

Для стержня в локальной системе координат получаем уравнение деформации

и вытекающие из него соотношения

где угол поворота сечения i-го стержня - безразмерный коэффициент при учете деформации сдвига, зависящий от формы поперечного сечения (для стержня прямоугольного сечения перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении стержня (рис. 9.3); - модули сдвига и упругости соответственно; площадь поперечного сечения и момент Инерции сечения стержня (в общем случае могут изменяться вдоль оси

Допустим, что отверстия во фланцах не оказывают существенного влияния на их изгибную жесткость и фланцы имеют

постоянные сечения. Тогда с учетом условий равновесия элемента стержня (см. рис. 9.3)

найдем

где коэффициенты, учитывающие деформации сдвига и изгиба соответственно:

функция, отражающая условия нагружения стержней:

контактная и внешняя распределенная нагрузка на стержне (например, от гайки) соответственно.

Для упрощения расчетов полагаем, что условный контактный слой является линейно-упругим. В этом случае и уравнение (9.7) принимает вид

где

Распределение контактных нагрузок в соединении. Контактные нагрузки в соединении находят из решения уравнения (9.10), которое можно представить с помощью нормальных фундаментальных функций:

где произвольные постоянные, определяемые из граничных условий в сечении при частное решение дифференциального уравнения (табл. 9.1):

Таблица 9.1 (см. скан) Частные решения дифференциального уравнения


— нормальные фундаментальные функции уравнения (9.10):

здесь

Рис. 9.4. Расчетные схемы соединения при затяжке болта

Нормальные фундаментальные функции связаны между собой рекуррентными соотношениями

В частном случае при сравнительно большой ширине фланцев где наибольшая из двух толщина фланца, изображенного на рис. 9.2) деформацией сдвига можно пренебречь, т. е. принять Тогда уравнение упругого контакта стержней

где а — коэффициент:

Решение уравнения (9.17) можно представить в форме

здесь нормальные фундаментальные функции (функции А. Н. Крылова).

Соотношения для этих функций несложно получить из равенств (9.14), если принять

Нагрузки на стыке фланцев после затяжки болта. Рассмотрим два фланца (рис. 9.4, а, б), сжатых силами затяжки болта. Допустим, что силы приложены сосредоточенно. В уточненном расчете можно учесть напряжения, возникающие во фланцах в результате изгиба болта.

Для определения контактных нагрузок на стыке фланцев используем зависимость (9.12). Частное решение уравнения (9.10) найдем, заменив силы распределенными на

участке нагрузками рис. 9.4, б). Тогда по формулам (9.9) и (9.11) функции нагрузки при рис. 9.3)

и частное решение при

Для других случаев нагружения частные решения даны в табл. 9.1.

Постоянные в зависимости (9.12) найдем из граничных условий:

Использовав соотношения (9.5) и приняв во внимание равенства

выразим условия (9.21) и (9.22) через контактные нагрузки в тех же сечениях:

при

при

С учетом равенств (9.20) и (9.24) зависимость (9.12) примет вид

где — разрывная функция:

Произвольные постоянные можно определить из последней зависимости по условиям (9.25):

где

Здесь нормальные фундаментальные функции при — то же при

Таким образом, контактные нагрузки на стыке фланцев от затяжки можно найти из уравнения

Контактные нагрузки в сечении при (на оси болта)

или

где

Существенная особенность рассмотренной задачи состоит в том, что протяженность зоны контакта (абсцисса заранее не известна. Ее находят, решив уравнение (9.29) методом последовательных приближений и выполнив (с заданной точностью) очевидное условие

Для широких фланцев деформацией сдвига можно пренебречь, т. е. принять . В этом случае контактные нагрузки на стыке фланцев

где

Здесь функции А. Н. Крылова при то же при

Если ширина фланцев размер гайки под ключ), контактную нагрузку на оси болта вычисляем по формуле

Рис. 9.5. Кривые распределения контактных напряжений на стыке соединения

На рис. 9.5, а показаны кривые распределения контактных напряжений на стыке стержней прямоугольного поперечного сечения шириной при различной высоте Кривая 1 соответствует высоте сечения кривая (болт ; сила предварительной затяжки ).

Нагрузки на стыки фланцев при действии внешней силы и полная нагрузка на болт. Для нахождения контактных нагрузок на стыки также используем зависимость (9.12). Произвольные постоянные определяем из условий (см. рис. 9.2, а):

Граничные условия (9.33) справедливы лишь для случаев, когда абсцисса точки разрыва контакта (см. рис. 9.2, а). Если то

Как и в предыдущем расчетном случае, условиям (9.32) соответствуют равенства

а из условий (9.33) следует:

С учетом равенств (9.34) зависимость (9.12) можно представить в форме

Продифференцировав последовательно эту зависимость в учетом соотношений (9.16) и условий (9.35), найдем

где

В соотношениях (9.38):

где

здесь нормальные фундаментальные функции при то же при .

Подставив выражения (9.37) в зависимость (9.36), получим

где

Отметим, что в зависимость (9.39) можно также ввести слагаемое, учитывающее моментные реакции на фланцы от изгиба болта, образующиеся вследствие поворота их опорных плоскостей гайки и головки.

Если пренебречь деформацией сдвига и принять имеем

где

здесь

В этих соотношениях функции А. Н. Крылова при то же при

В уравнения (9.39) и (9.41) входит неизвестная полная сила действующая на болт. Для ее исключения используем условие совместности деформаций фланцев и болта, которое для расчетной модели с линейно-упругим контактным слоем можно записать в форме

где контактная нагрузка в сечении при (на оси болта).

Приняв во внимание, что

после несложных преобразований с учетом равенств (9.30) и (9.42) найдем

где - функции, определяемые зависимостями (9.40), при

Соотношение (9.43) можно представить в форме

где

Исключив из зависимости (9.41) силу получим

где

Для определения контактных нагрузок по зависимости (9.45) необходимо знать абсциссу точки с, которая заранее не известна. Ее, как и в предыдущем расчетном случае, находят путем решения уравнения (9.45) методом последовательных приближений при условии

Отметим, что условие (9.46) реализуется лишь для достаточно длинных стержней (широких фланцев), т. е. при Если в процессе расчета окажется, что следует принять и решение задачи значительно упростится.

Полную силу, действующую на болт, можно найти по формуле (9.43) или из уравнения равновесия

Дополнительная еила, обусловленная внешней нагрузкой,

Из формулы (9.47) вытекает важнейший практический вывод о том, что увеличением силы предварительной затяжки можно уменьшить дополнительную нагрузку на болт. Последнее особенно важно при расчете динамически нагруженных соединений.

Отметим, что в классическом расчете дополнительная нагрузка на болт не зависит от силы затяжки, так как площадь контакта стягиваемых деталей неизменна при нагружении соединения внешней силой.

На рис. 9.5, б показаны кривые распределения контактных напряжений на стыке стержней (сила предварительной затяжки при различной внешней силе Кривая 3 соответствует кривая 4 — кривая 5 — Видно, что с увеличением внешней силы протяженность зоны контакта фланцев сокращается, контакт смещается к ненагруженному краю фланцев, вблизи которого контактные напряжения возрастают.

Полная нагрузка на болт определяетвя силой затяжки и внешней нагрузкой (рис. 9.6). Интересно отметить, что значение оказывается даже меньше еилы затяжки при небольшой внешней нагрузке Далее, по мере увеличения внешней силы

Рис. 9.6. Зависимость полной нагрузки на болт от внешней силы

Рис. 9.7. Зависимость полной нагрузки на болт ототношения

повышается и полная нагрузка на Интенсивное увеличение отмечаетвя лишь в том случае, когда раскрытие стыка переходит ось болта. Нагрузка принимает наибольшее значение при полном раскрытии стыка и опирании фланцев по внешнему краю (рис. 9.6). В этом случае по правилу рычага

Зависимость, приведенная на рис. 9.6, сохраняется пропорциональной при увеличении (уменьшении) сил

Результаты расчетов показывают, что уменьшением эксцентриситета внешней силы (т. е. смещения линии ее действия относительно оси болта) и увеличением толщины фланца (уменьшением его изгибной податливости) можно уменьшить дополнительную нагрузку на болт

Существенно уменьшить дополнительную нагрузку на болт можно, увеличив расстояние от оси болта до ненагруженного края фланца (см. рис. 9.2), что вытекает из правила рычага. Это расстояние должно быть по возможности большим, но не менее толщины фланца.

На рис. 9.7 показана зависимость от отношения для соединения стержней (ширина 40 мм, высота 18 мм, расстояние от линии действия силы до оси болта 55 мм), стянутых болтом М12 при

Эффективным средством снижения дополнительной нагрузки на болт является также увеличение силы предварительной затяжки.

Упрощенная схема контакта фланцев. Расчет соединений с полосовым стыком можно существенно упростить, если контактные нагрузки на стыке фланцев заменить силой приложенной в центре давления — точке (см. рис. 9.2, а), абсцисса которой

где — длина зоны контакта.

Уравнения равновесия одного из фланцев

где расстояние от оси болта до центра давления. При выводе этих уравнений, как и ранее, полагали, что изгибающие моменты, действующие на стержень болта со стороны гайки, невелики.

Видно, что в два уравнения равновесия входят три неизвестные величины: . Для их определения используем условие совместности перемещений фланцев и болта

где суммарные перемещения точек осей болта на опорных торцах гайки и головки болта после затяжки и при действии внешней нагрузки соответственно.

Сближение опорных торцов гайки и головки болта после затяжки

где — податливость при сжатии стягиваемых деталей.

Для определения осевого перемещения точки оси болта на опорном торце гайки (головки болта) от изгиба фланца под действием внешней нагрузки схематизируем фланец в форме стержня. В этом случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (ось перенесена в точку )

где I — номер стержня.

Проинтегрировав это уравнение, найдем

после повторного интегрирования получим

где произвольные постоянные, определяемые из граничных условий.

Граничные условия задачи с учетом принятых допущений: при Последнее эквивалентно допущению, что характер деформаций фланцев под действием сил такой же, как и при затяжке.

С учетом этих условий прогиб стержня в сечении оси болта

и смещение точек оси болта на опорных торцах гайки и головки

здесь — податливость фланцев при сжатии, вычисляемая по формуле (3.31).

С учетом условия (9.49) и равенств (9.50), (9.52) найдем

Уравнение (9.53) характеризует основные особенности задачи (изгиб и сжатие фланцев, растяжение болта). При оно совпадает с аналогичным соотношением классического расчета.

Исключив из этого равенства с помощью уравнений (9.48) неизвестные силы получим уравнение для определения расстояния от оси болта до центра давления

Это уравнение можно представить в виде

где — коэффициенты уравнения:

При обычных значениях величин, входящих в эти коэффициенты, дискриминант уравнения (9.55) положителен, т. е.

В этом случае вещественный корень уравнения (9.55)

где

Контактную реакцию находим по формуле

выведенной из уравнения (9.53) с учетом равенства

При расчете по упрощенной схеме контакта получаем несколько большие нагрузки на болты, чем при уточненном расчете.

В заключение отметим, что контактная задача для стержневой двухмерной модели болтового соединения впервые решена и описана в работах [4, 5]. При рассмотрении такой модели в упрощенном варианте М. Гальвелатом [33], Р. Агатоновиком [24] фланец

Рис. 9.8. Упрощенная стержневая модель соединения

Рис. 9.9. Соединение с полосовыми фланцами

с полосовым стыком (рис. 9.8, а) заменен двухопорной балкой или стержнем (рис. 9.8, б) при действии известных силовых факторов

Положение контактной опоры и находят из уравнения

в котором константы

Далее определяют реакцию опоры и полную нагрузку на болт.

Для стержневой модели соединения и уравнения (9.55) и (9.56) совпадают.

Многоболтовые фланцевые соединения можно схематически рассматривать как стержневые, если расстояние между болтами невелико и на поверхности стыка контактные нагрузки распределены относительно равномерно. Для таких соединений коэффициенты обусловливающие различие указанных уравнений, зависят от цилиндрической жесткости фланца как пластины. Они, как и внешняя сила, определяются конструкцией и характером нагружения фланца.

Для детали с полосовым стыком (рис. 9.9)

где — число болтов, в соединении.

Рис. 9.10. Конструктивная схема соединения

При расчете крышки (рис. 9.10, а)

Если крышка работает под давлением (рис. 9.10, б),

При расчете фланцевого соединения в условиях растяжения и изгиба (рис. 9.10, в)

В этих формулах цилиндрическая жесткость фланца толщиной h

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление