Теория поверхностей

  

Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ, 1956. - 260 с.

Элементы теории кривых. Элементы тензорной алгебры. Поверхность и ее касательная плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Поверхность вращения и ее обобщения. Линейчатые поверхности и прямолинейные конгруэнции. Векторные и тензорные поля на поверхности. Геодезическая кривизна и геодезические линии. Элементы теории сетей. Отображение поверхностей. Полная кривизна как инвариант внутренней геометрии поверхности. Поверхности постоянной кривизны. Минимальные поверхности. Триортогональные системы поверхностей.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ
§ 1. Кривая линия и ее уравнение
§ 2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость
§ 3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой
§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе
§ 5. Винтовая линия и окружность
ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 7. Скалярное пройзведение и ковариантные координаты
§ 8. Косое произведение и дополнительный вектор
§ 9. Понятие тензора
§ 10. Основные действия тензорной алгебры
§ 11. Симметричный тензор второй валентности
§ 12. Свертывание тензоров
ГЛАВА III. ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
§ 14. Касательная прямая и касательная плоскость поверхности
§ 15. Огибающая семейства поверхностей
§ 16. Развертывающиеся поверхности
§ 17. Развертывающиеся поверхности, связанные с пространственной кривой
ГЛАВА IV. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
§ 19. Линейный элемент и наложимость поверхностей
§ 20. Угол между линиями на поверхности и конформное отображение
§ 21. Семейство линий на поверхности. Ортогональные траектории и сети
§ 22. Мера площади поверхности. Эквивалентное соответствие
ГЛАВА V. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
§ 24. Теорема Менье
§ 25. Тензор второй квадратичной формы и его инварианты
§ 26. Классификация точек поверхности
§ 27. Сопряженные направления и сети
§ 28. Асимптотические линии
§ 29. Линии кривизны
ГЛАВА VI. ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
§ 31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения
§ 32. Частные виды поверхности вращения
§ 33. Винтовые поверхности
§ 34. Резные поверхности
§ 35. Каналовые поверхности
ГЛАВА VII. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ
§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые
§ 38. Присоединенные точки и точки стрикции
§ 39. Параметр распределения
§ 40. Асимптотические линии линейчатой поверхности
§ 41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные квадратичные формы
§ 42. Развертывающиеся и фокальные поверхности конгруэнции
§ 43. Нормальная конгруэнция
ГЛАВА VIII. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 45. Ротация векторного поля
§ 46. Дивергенция векторного поля
§ 47. Лапласово поле, гармонические функции и изотермические координаты
§ 48. Деривационные формулы Гаусса
§ 49. Параллельное перенесение векторов
§ 50. Абсолютное и ковариантное дифференцирование
§ 51. Ковариантная производная
§ 52. Основное дифференциальное уравнение векторного поля
ГЛАВА IX. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
§ 54. Геодезические линии
§ 55. Геодезическое поле
§ 56. Геодезически-изотермическое поле
§ 57. Геодезически-биссекторное поле
§ 58. Поверхность Лиувилля
§ 59. Геодезические линии поверхности вращения
§ 60. Конгруэнция касательных к линиям геодезического поля
§ 61. Поверхности Вейнгартена
ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ
§ 63. Присоединенная прямая и чебышевский вектор сети
§ 64. Кодацциевы сети
§ 65. Ортогональные сети
§ 66. Геодезические сети
§ 67. Чебышевская сеть
§ 68. Поверхность переноса
§ 69. Сети равных путей
§ 70. Изотропные направления и изотропная сеть
ГЛАВА XI. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 72. Конформное соответствие поверхностей
§ 73. Конформное соответствие плоскостей
§ 74. Инверсия
§ 75. Стереографическая проекция
§ 76. Геодезическое соответствие
§ 77. Сферическое отображение
ГЛАВА XII. ПОЛНАЯ КРИВИЗНА КАК ИНВАРИАНТ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ
§ 79. Теорема Гаусса — Бонне
§ 80. Теорема Гаусса — Бонне для многосвязных областей и замкнутых поверхностей
§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования
§ 82. Теорема Петерсона
§ 83. Уравнение изгибания
§ 84. Полная кривизна поверхности вращения
ГЛАВА XIII. ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
§ 86. Линейный элемент поверхностей постоянной кривизны и их наложимость
§ 87. Геодезические линии и геодезические пучки на псевдосфере
§ 88. Внутренняя геометрия псевдосферы
§ 89. Геодезические линии поверхностей постоянной кривизны
ГЛАВА XIV. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
§ 91. Присоединенная поверхность
§ 92. Формулы Шварца
§ 93. Сферическое отображение и изгибание минимальных поверхностей
§ 94. Формулы Вейерштрасса
ГЛАВА XV. ТРИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 96. Триортогональная система поверхностей
§ 97. Условия Ляме
§ 98. Софокусные поверхности второго порядка
§ 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго порядка
Литература