Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 99. Эллиптические координаты на центральной поверхности второго порядка

Всякую центральную поверхность второго порядка, очевидно, можно включить в семейство софокусных поверхностей, так что ее уравнение примет вид

Черт. 67.

Не уменьшая общности, можно также считать, что корень уравнения (2) § 98, соответствующий этой поверхности, (черт. 67), и тогда ее линейный элемент в эллиптических координатах будет иметь вид

Вводя новые параметры

приведем его к виду

который показывает, что координатная сеть или согласно теореме Дюпена сеть линий кривизны центральной поверхности второго порядка есть сеть Лиувилля.

В заключение отметим одно интересное свойство сетей Риччи п° 3 § 76 поверхностей второго порядка, связанное с теоремой Шаля.

Рассмотрим четыре софокусные поверхности из которых три первые проходят через точку (черт. 68), а четвертая произвольна.

Черт. 68.

Построим конус второго порядка с вершиной в точке Мне образующими, касающимися поверхности Каждая из плоскостей касающаяся поверхностей (5) в точке будет содержать две образующие этого конуса Плоскости касающиеся конуса вдоль этих образующих, будут касаться и поверхности и в силу теоремы Шаля будут перпендикулярны

к касательной плоскости т. е. пересекутся по ее нормали. Но это значит, что нормаль поверхности будет полярна ее касательной плоскости относительно конуса а так как нормаль и касательная плоскость перпендикулярны, то, значит, нормаль каждой из поверхностей является главной осью конуса

Рассмотрим теперь касательную плоскость одной из поверхностей например . В ней расположены нормали поверхностей и (53) и образующие конуса и так как являются главными осями этого конуса, то они направлены по биссектрисам угла

Но в силу той же теоремы Шаля конгруэнции прямых касающихся поверхности будут нормальны и касаются линий некоторой геодезической сети (п° 2 § 60), а так как биссекторная сеть этой геодезической сети с касательными будет сетью Лиувилля, то геодезическая сеть будет сетью Риччи.

Таким образом, сеть Риччи поверхности второго порядка состоит из таких геодезических линий, касательные которых касаются одной и той же поверхности второго порядка, софокусной с данной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление