Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Свертывание тензоров

1. Рассмотрим некоторую полилинейную функцию трех или большего числа переменных

Если мы придадим определенные значения некоторым переменным, например двум последним, то станет полилинейной функцией двух первых, и мы будем иметь

где координаты некоторого тензора второй валентности. Но в силу произвольности мы будем иметь

Таким образом, суммы произведений координат тензора на коор динаты векторов, соответствующие некоторым его индексам, являются координатами тензора более низкой валентности. Рассмотрим теперь суммы следующего вида:

Пользуясь каноническим представлением метрического тензора через единичный вектор и получим

откуда согласно предыдущему следует, что и величины с являются координатами тензора второй валентности. Мы будем говорить, что тензор с получен в результате свертывания тензора по двум его последним индексам.

2. Очевидно, что действие свертывания уменьшает валентность тензора на две единицы. Если исходный тензор имеет нечетную валентность то, производя над ним повторное свертывание раз, мы придем к тензору первой валентности, т. е. к вектору. Если же валентность тензора равна т. е. четная, то после свертываний мы получим тензор второй валентности (например, с). Дальнейшее свертывание приведет нас к скалярной величине

которая является следом тензора т. е. величиной, остающейся инвариантной при преобразовании координат. Таким образом, действие свертывания позволяет построить инвариант из координат всякого тензора четной валентности. Для того чтобы построить инварианты из координат тензоров нечетных валентностей, предварительно составляют произведения этих тензоров на себя или друг на друга, а потом подвергают эти произведения свертыванию. Так, например, скалярное произведение векторов

есть свернутое произведение тензоров первой валентности.

3. В заключение выведем одно соотношение для симметричного тензора второй валентности. Произведение этого тензора на себя, свернутое по двум индексам

дает снова симметричный тензор второй валентности, который называется квадратом данного тензора. Представив тензор канонически, мы получим

Таким образом, квадрат данного тензора имеет те же главные направления, что и данный тензор, а его главные значения равны квадратам главных значений данного тензора. Кроме того,

следовательно,

Считая «единичным тензором» и сравнивая полученное соотношение с характеристическим уравнением (16) § 11, говорят, что всякий симметричный тензор второй валентности удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление