Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

§ 23. Нормальная кривизна и вторая квадратичная форма

1. Кривизны линий, расположенных на поверхности, связаны рядом замечательных соотношений. Для того чтобы получить эти соотношения, следует изучить расположение сопровождающего трехгранника кривой по отношению к поверхности. При этом касательный ректор кривой всегда расположен в касательной плоскости поверхности, а векторы главной нормали и бинормали наклонены под некоторыми углами к этой плоскости. Рассмотрим вектор кривизны

кривой, расположенной на поверхности. Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхности в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной кривизной этой кривой.

При этом нормаль считается ориентированной с помощью заранее выбранного единичного вектора Нормальная кривизна обозначается через а обратная ей величина называется радиусом нормальной кривизны. Так как нормаль считается ориентированной, то проекция на нее может быть положительной или отрицательной, так что радиус нормальной кривизны выражается относительным числом в противоположность существенно положительному радиусу кривизны кривой, рассматриваемой независимо от поверхности.

Таким образом, нормальная кривизна

2. Для вычисления нормальной кривизны будем дифференцировать выражение

единичного касательного вектора кривой, расположенной на поверхности. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции и вводя обозначения

получим

Чтобы найти проекцию вектора кривизны на нормаль, достаточно умножить скалярно на . При этом следует принять во внимание, что векторы расположены в касательной плоскости и, следовательно, перпендикулярны к

Таким образом,

Скалярные произведения единичного вектора нормали и вторых частных производных радиуса-вектора точки поверхности являются функциями точки. Введем для них особые обозначения, полагая

После этого нормальная кривизна примет вид

Форма

называется второй квадратичной формой поверхности.

Выражение (4), очевидно, можно переписать в следующем виде:

где

Таким образом, нормальная кривизна равна отношению второй и первой квадратичных форм, определенных для дифференциалов криволинейных координат, соответствующих направлению кривой, проходящей через ту точку поверхности, для которой подсчитаны коэффициенты обеих форм.

В заключение запишем выражение коэффициентов второй квадратичной формы в развернутом виде.

Так как вектор нормали

то

Полезно отметить еще следующие выражения тех же коэффициентов:

Эти выражения легко получаются при дифференцировании тождеств

которые дают

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление