Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VI. ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

§ 30. Поверхность вращения и ее изгибание

1. Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг прямой, расположенной в ее Плоскости, называется поверхностью вращения. Эта прямая называется осью вращения поверхности. Сечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы — плоские кривые, конгруэнтные кривой, вращением которой образована данная поверхность. Линии пересечения поверхности плоскостями, ортогональными оси вращения, называются параллелями. Все параллели — окружности с центрами на оси вращения, расположенные в параллельных плоскостях.

Черт. 33.

Чтобы полупить уравнение поверхности вращения, допустим, что ось вращения совпадает с осью (черт. 33). Введем в подвижной плоскости систему координат с осью совпадающей с и осью к ней перпендикулярной. Координатный вектор оси совпадает с вектором оси а единичный вектор подвижной оси выразится как круговая функция угла, который он образует с осью

Образующую кривую поверхности зададим параметрическим уравнением по отношению к осям так, что радиус-вектор ее точки будет

Уравнение (1) дает зависимость радиуса-вектора точки поверхности от Двух параметров и является искомым; параметрические

линии будут меридианами, а линии параллелями поверхности.

2. Чтобы вычислить линейный элемент поверхности вращения, найдем дифференциал радиуса-вектора

откуда

Отсутствие члена с произведением дифференциалов показывает, что координатная сеть, состоящая из меридианов и параллелей, ортогональна.

Выражение (2) принимает более простой вид, если за параметр вдоль меридиана принять длину его дуги

В таком случае

и, следовательно,

Наконец, приведя линейный элемент к виду

и полагая

получим

Такой вид линейного элемента, когда он отличается от линейного элемента плоскости в прямоугольных координатах только множителем, называется изотермическим.

3. Покажем, что любую поверхность с линейным элементом вида

можно наложить на поверхность вращения, так что при этом линии наложатся на параллели. Для этого представим его в следующем виде:

и введем новый параметр

и обозначение

После этого линейный элемент (5) примет вид

и мы будем искать такую поверхность вращения, для которой он совпадает с линейным элементом вида (2). Очевидно, что этого можно добиться, положив

и искомая поверхность определится уравнением

с точностью до произвольного постоянного с, изменяя которое, можно осуществить ее непрерывное изгибание. Так как при этом изгибании сеть линий кривизны сохраняется, то она является изгибанием на главном основании (п° 5 § 27).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление