Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 31. Вторая квадратичная форма поверхности вращения

1. Плоскость всякого меридиана поверхности вращения есть ее плоскость симметрии. Отсюда следует, что индикатриса Дюпена, построенная для какой-либо точки поверхности вращения, должна быть симметрична относительно плоскости меридиана, проходящего через эту точку. Но ось симметрии кривой второго порядка совпадает с одной из ее главных осей. Таким образом, одно из главных направлений поверхности вращения, в данной ее точке, совпадает с направлением меридиана, а другое, перпендикулярное к первому, есть направление касательной к параллели. Установив это, выясним, чему будут равны радиусы главных кривизн. Так как меридиан является одним из главных сечений, то один из радиусов главной кривизны совпадает с радиусом кривизны меридиана.

Черт. 34.

Центр кривизны нормального сечения касающегося параллели, по теореме Менье, должен проектироваться в центр кривизны саой параллели С, а последний, очевидно, лежит на оси вращения вплоскости параллели. Отсюда следует, что лежит на оси вращения (черт. 34). Таким образом, второй радиус главной кривизны равен отрезку нормали между точкой поверхности и осью вращения.

Если меридиан обращен вогнутостью к оси вращения (на черт. 35 участок то центры кривизны обоих главных сечений находятся по одну сторону от касательной плоскости, полная кривизна положительна и точка эллиптическая.

Наоборот, если меридиан обращен к оси вращения своей выпуклостью (на черт. 35 участок то центры главных кривизн расположены по разные стороны от касательной плоскости, вследствие чего полная кривизна отрицательна, а точка гиперболическая.

Точка поверхности вращения будет параболической в двух следующих случаях.

1) Если точка меридиана будет точкой спрямления (на черт. 35 точки , то его кривизна, т. е. одна из главных кривизн поверхности, в этой точке равна нулю, а значит, равна нулю и полная кривизна поверхности.

Черт. 35.

2) Если касательная к меридиану в данной точке, не принадлежащей оси вращения, перпендикулярна к оси вращения (на черт. 35 точки , то радиус главной кривизны, равный отрезку нормали, обратится в бесконечность, так как нормаль параллельна оси вращения. Таким образом, и в этой точке полная кривизна равна нулю, а точка параболическая.

Наконец, точка уплощения на поверхности вращения будет такой точкой меридиана, для которой имеют место оба последних условия (на черт. 35 точка С), т. е. если она будет точкой спрямления с касательной, перпендикулярной к оси вращения.

Действительно, при этом по формуле Эйлера нормальная кривизна любого направления будет равна нулю, что возможно только в случае обращения в нуль второй квадратичной формы.

Меридианы и параллели поверхности вращения будут ее линиями кривизны, так как они касаются главных направлений. Следует это и из того, что нормали поверхности вдоль меридиана лежат в одной плоскости, а вдоль параллели образуют конус. И та и другая поверхности — развертывающиеся.

2. Из (1) § 30 следует, что нормальный вектор поверхности вращения

а его абсолютная величина

Так как

то вторая квадратичная форма поверхности вращения

будет иметь вид

где а ее полная и средняя кривизны

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление